- 数学A｜図形の性質「平面と直線の垂直と三垂線の定理」の基本例題解説ページです。
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問題｜平面と直線の垂直と三垂線の定理
図形の性質 42正四面体 \({\rm ABCD}\) において、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\)、頂点 \({\rm A}\) から線分 \({\rm DM}\) に下ろした垂線を \({\rm AH}\) とするとき、\({\rm AH}\perp\)平面 \({\rm BCD}\) となることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
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平面と直線の垂直と三垂線の定理
解法のPoint
平面と直線の垂直と三垂線の定理
Point：平面と直線の垂直と三垂線の定理平面 \(\alpha\) 上の直線 \(\ell\)、\(\alpha\) 上にない点 \({\rm A}\)、\(\alpha\) 上の点 \({\rm B}\)、\(\ell\) 上の点 \({\rm O}\) について、
■ 三垂線の定理
\({\small [\,1\,]}\) \({\rm AB}\perp\ell\)、\({\rm OB}\perp\ell\)、\({\rm OA}\perp{\rm OB}\)
ならば、\({\rm OA}\perp\alpha\)
※ \(\triangle {\rm ABO}\) の \(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm OB}\) が点 \({\rm B}\) で交わる直線 \(\ell\) と垂直で、\({\rm OA}\perp{\rm OB}\) であれば \({\rm OA}\perp\alpha\) となる。
\({\small [\,2\,]}\) \({\rm OA}\perp\alpha\)、\({\rm OB}\perp\ell\)
ならば、\({\rm AB}\perp\ell\)
\({\small [\,3\,]}\) \({\rm OA}\perp\alpha\)、\({\rm AB}\perp\ell\)
ならば、\({\rm OB}\perp\ell\)
■ 三垂線の定理
\({\small [\,1\,]}\) \({\rm AB}\perp\ell\)、\({\rm OB}\perp\ell\)、\({\rm OA}\perp{\rm OB}\)
ならば、\({\rm OA}\perp\alpha\)
※ \(\triangle {\rm ABO}\) の \(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm OB}\) が点 \({\rm B}\) で交わる直線 \(\ell\) と垂直で、\({\rm OA}\perp{\rm OB}\) であれば \({\rm OA}\perp\alpha\) となる。
\({\small [\,2\,]}\) \({\rm OA}\perp\alpha\)、\({\rm OB}\perp\ell\)
ならば、\({\rm AB}\perp\ell\)
\({\small [\,3\,]}\) \({\rm OA}\perp\alpha\)、\({\rm AB}\perp\ell\)
ならば、\({\rm OB}\perp\ell\)
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詳しい解説｜平面と直線の垂直と三垂線の定理
図形の性質 42正四面体 \({\rm ABCD}\) において、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\)、頂点 \({\rm A}\) から線分 \({\rm DM}\) に下ろした垂線を \({\rm AH}\) とするとき、\({\rm AH}\perp\)平面 \({\rm BCD}\) となることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
[証明]
\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形より、
\({\rm M}\) は辺 \({\rm BC}\) の中点であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AM}\perp{\rm BC}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
同様に、\(\triangle {\rm DBC}\) は正三角形より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm DM}\perp{\rm BC}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm HM}\perp{\rm BC}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
また、\({\rm AH}\perp{\rm DM}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AH}\perp{\rm HM}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\)〜\({\small [\,3\,]}\) より、三垂線の定理が成り立つ
したがって、\({\rm AH}\perp\)平面\({\rm BCD}\) となる [終]
