- 数学A｜図形の性質「立方体内の正八面体」の基本例題解説ページです。
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問題｜立方体内の正八面体
図形の性質 44\(1\) 辺の長さ \(2\) の立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) において、各面の対角線の交点を頂点とする立体 \({\rm PQRSTU}\) が正八面体であることの証明方法は？また、この正八面体の体積の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
立方体内の正八面体
Point：立方体内の正八面体立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) 内の立体 \({\rm PQRSTU}\) について、
■ 正八面体であることの証明
\({\small [\,1\,]}\) この立体の \(8\) つの面はすべて正三角形
\({\small [\,2\,]}\) \(6\) つの頂点に集まる面の数はすべて等しい
この \({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) を示せば、正八面体であるといえる。
① 上下に分けた断面の正方形 \({\rm QRST}\) の面積を求める。
② 上下の正四角錐の高さは立方体の \(1\) 辺の半分となることより、（正四角錐の体積）\({\, \small \times \,}2\) で正八面体の体積を求める。
■ 正八面体であることの証明
\({\small [\,1\,]}\) この立体の \(8\) つの面はすべて正三角形
\({\small [\,2\,]}\) \(6\) つの頂点に集まる面の数はすべて等しい
この \({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) を示せば、正八面体であるといえる。
■ 正八面体の体積
① 上下に分けた断面の正方形 \({\rm QRST}\) の面積を求める。
② 上下の正四角錐の高さは立方体の \(1\) 辺の半分となることより、（正四角錐の体積）\({\, \small \times \,}2\) で正八面体の体積を求める。
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詳しい解説｜立方体内の正八面体
図形の性質 44\(1\) 辺の長さ \(2\) の立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) において、各面の対角線の交点を頂点とする立体 \({\rm PQRSTU}\) が正八面体であることの証明方法は？また、この正八面体の体積の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
[証明]
立体 \({\rm PQRSTU}\) の面 \({\rm PQR}\) は、正三角形 \({\rm ACF}\) の内部にある
\({\rm AC}={\rm CF}={\rm FA}\) で、\({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) はそれぞれの中点になるので、\(\triangle {\rm PQR}\) も正三角形となる
同様に考えると、
立体 \({\rm PQRSTU}\) の \(8\) つの面はすべて正三角形となる \(\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、立体 \({\rm PQRSTU}\) の \(6\) つの頂点に集まる面の数はそれぞれ \(4\) で等しい \(\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、この立体は正八面体となる [終]
正八面体 \({\rm PQRSTU}\) の四角形 \({\rm QRST}\) の \(1\) 辺の長さは、
正方形 \({\rm QRST}\) の \(1\) 辺の長さは、\(1:1:\sqrt{2}\) の直角二等辺三角形より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm QR}=\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
よって、正方形 \({\rm QRST}\) の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm QRST}=\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}=2\end{eqnarray}\)
これより、正八面体 \({\rm PQRSTU}\) を上下 \(2\) つの正四角錐に分けると、高さはそれぞれ \(2\div2=1\) になるので、正八面体の体積 \(V\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}1\right){\, \small \times \,}2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、体積は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) となる
