- 数学A｜図形の性質「空間図形の直線と平面の位置関係」の基本例題解説ページです。
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問題｜空間図形の直線と平面の位置関係
図形の性質 39正四面体 \({\rm ABCD}\) と辺 \({\rm CD}\) の中点 \({\rm M}\) において、辺 \({\rm CD}\) と \(\triangle {\rm ABM}\) が垂直と、\({\rm AB}\perp{\rm CD}\) であることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
空間図形の直線と平面の位置関係
Point：空間図形の直線と平面の位置関係
\({\small [\,1\,]}\) 直線 \(\ell\) が平面 \(\alpha\) に含まれる
（直線 \(\ell\) が平面 \(\alpha\) 上にある）
\({\small [\,2\,]}\) 直線 \(\ell\) が平面 \(\alpha\) と \(1\) 点で交わる
\({\small [\,3\,]}\) 直線 \(\ell\) と平面 \(\alpha\) が平行である
直線 \(\ell\) が平面 \(\alpha\) 上のすべての直線に垂直であるとき、直線 \(\ell\) は平面 \(\alpha\) に垂直（直交）といい、\(\ell\perp\alpha\) と表し、\(\ell\) を垂線という。
直線 \(\ell\) と平面 \(\alpha\) が垂直であることを示すには、平面 \(\alpha\) 上の \(2\) 直線が、\(\ell\) と垂直となることを示せばよい。
■ 直線 \(\ell\) と平面 \(\alpha\) の位置関係
\({\small [\,1\,]}\) 直線 \(\ell\) が平面 \(\alpha\) に含まれる
（直線 \(\ell\) が平面 \(\alpha\) 上にある）
\({\small [\,2\,]}\) 直線 \(\ell\) が平面 \(\alpha\) と \(1\) 点で交わる
\({\small [\,3\,]}\) 直線 \(\ell\) と平面 \(\alpha\) が平行である
■ 直線と平面の垂直
直線 \(\ell\) が平面 \(\alpha\) 上のすべての直線に垂直であるとき、直線 \(\ell\) は平面 \(\alpha\) に垂直（直交）といい、\(\ell\perp\alpha\) と表し、\(\ell\) を垂線という。
直線 \(\ell\) と平面 \(\alpha\) が垂直であることを示すには、平面 \(\alpha\) 上の \(2\) 直線が、\(\ell\) と垂直となることを示せばよい。
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詳しい解説｜空間図形の直線と平面の位置関係
図形の性質 39正四面体 \({\rm ABCD}\) と辺 \({\rm CD}\) の中点 \({\rm M}\) において、辺 \({\rm CD}\) と \(\triangle {\rm ABM}\) が垂直と、\({\rm AB}\perp{\rm CD}\) であることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
[証明]
\(\triangle {\rm ACD}\) は正三角形で \({\rm M}\) は辺 \({\rm CD}\) の中点になるので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm CD}\perp{\rm AM}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、\(\triangle {\rm BCD}\) についても同様に、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm CD}\perp{\rm BM}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、辺 \({\rm CD}\) は \(\triangle {\rm ABM}\) 上の \(2\) 直線 \({\rm AM}\)、\({\rm BM}\) に垂直になる
したがって、
辺 \({\rm CD}\) は \(\triangle {\rm ABM}\) に垂直になる [終]
[証明]
辺 \({\rm CD}\) は \(\triangle {\rm ABM}\) に垂直になるので、辺 \({\rm CD}\) は \(\triangle {\rm ABM}\) 上の辺 \({\rm AB}\) と垂直になる
したがって、\({\rm AB}\perp{\rm CD}\) となる [終]
