- 数学A｜図形の性質「円と接線を用いた証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜円と接線を用いた証明
図形の性質 27円 \({\rm O}\) が四角形 \({\rm ABCD}\) と辺 \({\rm AB}~,~{\rm BC}~,~{\rm CD}~,~{\rm DA}\) に点 \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}~,~{\rm S}\) で接しているとき、\({\rm AB}+{\rm CD}={\rm BC}+{\rm DA}\) 、\(\triangle {\rm OAB}+\triangle {\rm OCD}=\triangle {\rm OBC}+\triangle {\rm OAD}\) の証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
円と接線を用いた証明
Point：円と接線を用いた証明円に外接する四角形について、
辺 \({\rm AB}~,~{\rm BC}~,~{\rm CD}~,~{\rm DA}\) はそれぞれ、点 \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}~,~{\rm S}\) で円に接するので、
\(\small [\,1\,]\) 接線と円の半径は垂直に交わる。
\({\rm OP} \perp {\rm AB}~,~{\rm OQ} \perp {\rm BC}\)
\({\rm OR} \perp {\rm CD}~,~{\rm OS} \perp {\rm DA}\)
\(\small [\,2\,]\) \(2\) つの接線の長さは等しい。
\({\rm AP}={\rm AS}~,~{\rm BP}={\rm BQ}\)
\({\rm CQ}={\rm CR}~,~{\rm DR}={\rm DS}\)
辺 \({\rm AB}~,~{\rm BC}~,~{\rm CD}~,~{\rm DA}\) はそれぞれ、点 \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}~,~{\rm S}\) で円に接するので、
\(\small [\,1\,]\) 接線と円の半径は垂直に交わる。
\({\rm OP} \perp {\rm AB}~,~{\rm OQ} \perp {\rm BC}\)
\({\rm OR} \perp {\rm CD}~,~{\rm OS} \perp {\rm DA}\)
\(\small [\,2\,]\) \(2\) つの接線の長さは等しい。
\({\rm AP}={\rm AS}~,~{\rm BP}={\rm BQ}\)
\({\rm CQ}={\rm CR}~,~{\rm DR}={\rm DS}\)
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詳しい解説｜円と接線を用いた証明
図形の性質 27円 \({\rm O}\) が四角形 \({\rm ABCD}\) と辺 \({\rm AB}~,~{\rm BC}~,~{\rm CD}~,~{\rm DA}\) に点 \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}~,~{\rm S}\) で接しているとき、\({\rm AB}+{\rm CD}={\rm BC}+{\rm DA}\) 、\(\triangle {\rm OAB}+\triangle {\rm OCD}=\triangle {\rm OBC}+\triangle {\rm OAD}\) の証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
[証明]
辺 \({\rm AB}~,~{\rm BC}~,~{\rm CD}~,~{\rm DA}\) はそれぞれ円に接しており、\(1\) つの頂点からの \(2\) つの接線の長さは等しいので、
\({\rm AP}={\rm AS}~,~{\rm BP}={\rm BQ}\)
\({\rm CQ}={\rm CR}~,~{\rm DR}={\rm DS}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}+{\rm CD}&=&({\rm AP}+{\rm BP})+({\rm CR}+{\rm DR})
\\[3pt]~~~&=&{\rm AS}+{\rm BQ}+{\rm CQ}+{\rm DS}
\\[3pt]~~~&=&({\rm BQ}+{\rm CQ})+({\rm AS}+{\rm DS})
\\[3pt]~~~&=&{\rm BC}+{\rm DA}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AB}+{\rm CD}={\rm BC}+{\rm DA}\) となる [終]
[証明]
辺 \({\rm AB}~,~{\rm BC}~,~{\rm CD}~,~{\rm DA}\) はそれぞれ円に接しており、接線と円の半径は垂直に交わるので、
\({\rm OP} \perp {\rm AB}~,~{\rm OQ} \perp {\rm BC}\)
\({\rm OR} \perp {\rm CD}~,~{\rm OS} \perp {\rm DA}\)
また、円 \({\rm O}\) の半径を \(r\) とすると、
\({\rm OP}={\rm OQ}={\rm OR}={\rm OS}=r\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\triangle {\rm OAB}+\triangle {\rm OCD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AB} \cdot r+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm CD} \cdot r
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r({\rm AB}+{\rm CD})~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
次に、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\triangle {\rm OBC}+\triangle {\rm OAD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC} \cdot r+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm DA} \cdot r
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r({\rm BC}+{\rm DA})~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、上の証明より、
\({\rm AB}+{\rm CD}={\rm BC}+{\rm DA}\)
両辺に \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r\) をかけると、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r({\rm AB}+{\rm CD})=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r({\rm BC}+{\rm DA})\)
したがって、\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\triangle {\rm OAB}+\triangle {\rm OCD}=\triangle {\rm OBC}+\triangle {\rm OAD}\) [終]
