- 数学A｜図形の性質「共通外接線と共通内接線の長さ」の基本例題解説ページです。
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問題｜共通外接線と共通内接線の長さ
図形の性質 33直線 \({\rm AB}\) が \(2\) つの円 \({\rm O}\)（半径 \(5\)）と円 \({\rm O}^{\prime}\)（半径 \(2\)）に点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で接しており、中心間の距離が \(9\) のとき、共通外接線 \({\rm AB}\) または共通内接線 \({\rm AB}\) の長さの求め方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
共通外接線と共通内接線の長さ
Point：共通外接線と共通内接線の長さ
\({\rm AB}\) を平行移動し、半径の差 \(r-r^{\prime}\) と、\(2\) 円の中心間の距離 \(d\) より、三平方の定理より、
\({\rm AB}^2+(r-r^{\prime})^2=d^2\)
\({\rm AB}\) を平行移動し、半径の和 \(r+r^{\prime}\) と、\(2\) 円の中心間の距離 \(d\) より、三平方の定理より、
\({\rm AB}^2+(r+r^{\prime})^2=d^2\)
■ 共通外接線の長さ
\({\rm AB}\) を平行移動し、半径の差 \(r-r^{\prime}\) と、\(2\) 円の中心間の距離 \(d\) より、三平方の定理より、
\({\rm AB}^2+(r-r^{\prime})^2=d^2\)
■ 共通内接線の長さ
\({\rm AB}\) を平行移動し、半径の和 \(r+r^{\prime}\) と、\(2\) 円の中心間の距離 \(d\) より、三平方の定理より、
\({\rm AB}^2+(r+r^{\prime})^2=d^2\)
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詳しい解説｜共通外接線と共通内接線の長さ
図形の性質 33直線 \({\rm AB}\) が \(2\) つの円 \({\rm O}\)（半径 \(5\)）と円 \({\rm O}^{\prime}\)（半径 \(2\)）に点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で接しており、中心間の距離が \(9\) のとき、共通外接線 \({\rm AB}\) または共通内接線 \({\rm AB}\) の長さの求め方は？
高校数学A｜図形の性質
共通外接線の長さは、
半径の差 \(5-2=3\) より、三平方の定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2+3^2&=&9^2\\[3pt]~~~{\rm AB}^2&=&81-9\\[3pt]~~~{\rm AB}^2&=&72\end{eqnarray}\)
\({\rm AB}\gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&\sqrt{\,72\,}\\[3pt]~~~&=&6\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AB}=6\sqrt{\,2\,}\) となる
共通内接線の長さは、
半径の和 \(5+2=7\) より、三平方の定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2+7^2&=&9^2\\[3pt]~~~{\rm AB}^2&=&81-49\\[3pt]~~~{\rm AB}^2&=&32\end{eqnarray}\)
\({\rm AB}\gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&\sqrt{\,32\,}\\[3pt]~~~&=&4\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AB}=4\sqrt{\,2\,}\) となる
