- 数学A｜図形の性質「三角形の辺と角の大小関係」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角形の辺と角の大小関係
図形の性質 20☆\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({\rm AC} \gt {\rm AB}\) ならば \(\angle {\rm B} \gt \angle {\rm C}\) であることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
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三角形の辺と角の大小関係
解法のPoint
三角形の辺と角の大小関係
Point：三角形の辺と角の大小関係三角形の辺と角の大小関係は、
① 大きい辺の向かい合う角は、小さい辺の向かい合う角より大きい。
② 大きい角の向かい合う辺は、小さい角の向かい合う辺より大きい。
\({\rm AC} \gt {\rm AB}~\Leftrightarrow ~\angle {\rm B} \gt \angle {\rm C}\)
① 大きい辺の向かい合う角は、小さい辺の向かい合う角より大きい。
② 大きい角の向かい合う辺は、小さい角の向かい合う辺より大きい。
\({\rm AC} \gt {\rm AB}~\Leftrightarrow ~\angle {\rm B} \gt \angle {\rm C}\)
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詳しい解説｜三角形の辺と角の大小関係
図形の性質20☆\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({\rm AC} \gt {\rm AB}\) ならば \(\angle {\rm B} \gt \angle {\rm C}\) であることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
[証明] \({\rm AB}={\rm AD}\) となる点 \({\rm D}\) を \({\rm AC}\) 上にとると、
\(\triangle {\rm ABD}\) は二等辺三角形より、底角が等しいので、
\(\angle {\rm ABD}=\angle {\rm ADB}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm B}&=&\angle {\rm ABD}+\angle {\rm DBC}\\[3pt]~~~\angle {\rm B}&\gt&\angle {\rm ABD}\end{eqnarray}\)
よって、\(\angle {\rm B} \gt \angle {\rm ADB}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、\(\triangle {\rm DBC}\) の外角より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm ADB}&=&\angle {\rm C}+\angle {\rm DBC}\\[3pt]~~~\angle {\rm ADB}&\gt&\angle {\rm C}\end{eqnarray}\)
よって、\(\angle {\rm ADB} \gt \angle {\rm C}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\angle {\rm B} \gt \angle {\rm ADB} \gt \angle {\rm C}\)
これより、\(\angle {\rm B} \gt \angle {\rm C}\)
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({\rm AC} \gt {\rm AB}\) ならば \(\angle {\rm B} \gt \angle {\rm C}\) となる [終]
