- 数学A｜図形の性質「方べきの定理と線分の長さ」の基本例題解説ページです。
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問題｜方べきの定理と線分の長さ
図形の性質 28円の \(2\) つの弦 \({\rm AB}~,~{\rm CD}\) の交点 \({\rm P}\) について、\({\rm AP}=3~,~{\rm CP}=6~,~{\rm DP}=4\) のとき、\({\rm BP}\) の長さの求め方は？また、\({\rm AB}~,~{\rm CD}\) の延長線の交点 \({\rm P}\) について、\({\rm AB}=4~,~{\rm AP}=2~,~{\rm CP}=3\) のとき、\({\rm CD}\) の長さの求め方は？さらに、円の外部の点 \({\rm P}\) から円に引いた接線の接点を \({\rm T}\) 、\({\rm P}\) を通る直線が円と \(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で交わり、\({\rm AB}=3~,~{\rm AP}=4~,~{\rm AP}\lt {\rm BP}\) のとき、\({\rm PT}\) の長さの求め方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
方べきの定理と線分の長さ
Point：方べきの定理と線分の長さ
円の \(2\) つの弦 \({\rm AB}~,~{\rm CD}\) の交点 \({\rm P}\) について、
\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PC} \cdot {\rm PD}\)
円の外部の点 \({\rm P}\) から円に引いた接線の接点を \({\rm T}\) 、\({\rm P}\) を通る直線と円が交わる \(2\) 点を \({\rm A}~,~{\rm B}\) とすると、
\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PT}^2\)
■ 方べきの定理
円の \(2\) つの弦 \({\rm AB}~,~{\rm CD}\) の交点 \({\rm P}\) について、
\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PC} \cdot {\rm PD}\)
※ 交点 \({\rm P}\) が弦の延長線上にある場合も成り立つ。
■ 接線の場合の方べきの定理
円の外部の点 \({\rm P}\) から円に引いた接線の接点を \({\rm T}\) 、\({\rm P}\) を通る直線と円が交わる \(2\) 点を \({\rm A}~,~{\rm B}\) とすると、
\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PT}^2\)
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詳しい解説｜方べきの定理と線分の長さ
図形の性質 28円の \(2\) つの弦 \({\rm AB}~,~{\rm CD}\) の交点 \({\rm P}\) について、\({\rm AP}=3~,~{\rm CP}=6~,~{\rm DP}=4\) のとき、\({\rm BP}\) の長さの求め方は？また、\({\rm AB}~,~{\rm CD}\) の延長線の交点 \({\rm P}\) について、\({\rm AB}=4~,~{\rm AP}=2~,~{\rm CP}=3\) のとき、\({\rm CD}\) の長さの求め方は？さらに、円の外部の点 \({\rm P}\) から円に引いた接線の接点を \({\rm T}\) 、\({\rm P}\) を通る直線が円と \(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で交わり、\({\rm AB}=3~,~{\rm AP}=4~,~{\rm AP}\lt {\rm BP}\) のとき、\({\rm PT}\) の長さの求め方は？
高校数学A｜図形の性質
方べきの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA} \cdot {\rm PB}&=&{\rm PC} \cdot {\rm PD}\\[3pt]~~~3 \cdot {\rm PB}&=&6 \cdot 4\\[3pt]~~~{\rm BP}&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 4\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~{\rm BP}&=&8\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm BP}=8\) となる
\({\rm CD}=x\) とし、方べきの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA} \cdot {\rm PB}&=&{\rm PC} \cdot {\rm PD}\\[3pt]~~~2 \cdot (2+4)&=&3 \cdot (3+x)\\[3pt]~~~12&=&9+3x\\[3pt]~~~-3x&=&9-12\\[3pt]~~~-3x&=&-3\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm CD}=1\) となる
接線の場合の方べきの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PT}^2&=&{\rm PA} \cdot {\rm PB}\\[3pt]~~~{\rm PT}^2&=&4 \cdot (4+3)\\[3pt]~~~{\rm PT}^2&=&28\end{eqnarray}\)
\({\rm PT}\gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PT}&=&\sqrt{\,28\,}\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{\,7\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm PT}=2\sqrt{\,7\,}\) となる
定理の証明
証明01点 \({\rm P}\) を通る \(2\) 直線が、円 \({\rm O}\) とそれぞれ \(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) と \(2\) 点 \({\rm C}~,~{\rm D}\) で交わるとき、\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PC} \cdot {\rm PD}\) が成り立つことを証明せよ。
高校数学A｜図形の性質
[証明] \({\small (1)}~\)点 \({\rm P}\) が円 \({\rm O}\) の外部にあるとき
\(\triangle {\rm PAC}\) と \(\triangle {\rm PDB}\) において、四角形 \({\rm ABDC}\) は円に内接するので、\(1\) つの外角がその隣り合う内角の対角に等しいので、
\(\angle {\rm PAC}=\angle {\rm PDB}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、\(\angle {\rm P}\) は共通なので、
\(\angle {\rm APC}=\angle {\rm DPB}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、\(2\) 組の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm PAC}\) ∽ \(\triangle {\rm PDB}\)
よって、対応する辺の比は等しいので、
\({\rm PA}:{\rm PD}={\rm PC}:{\rm PB}\)
これより、
\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PC} \cdot {\rm PD}\)
したがって、\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PC} \cdot {\rm PD}\) が成り立つ
\({\small (2)}~\)点 \({\rm P}\) が円 \({\rm O}\) の内部にあるとき
\(\triangle {\rm PAC}\) と \(\triangle {\rm PDB}\) において、弧 \({\rm BC}\) に対する円周角は等しいので、
\(\angle {\rm PAC}=\angle {\rm PDB}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、対頂角は等しいので、
\(\angle {\rm APC}=\angle {\rm DPB}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、\(2\) 組の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm PAC}\) ∽ \(\triangle {\rm PDB}\)
よって、対応する辺の比は等しいので、
\({\rm PA}:{\rm PD}={\rm PC}:{\rm PB}\)
これより、
\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PC} \cdot {\rm PD}\)
したがって、\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PC} \cdot {\rm PD}\) が成り立つ [終]
証明02円の外部の点 \({\rm P}\) から円に引いた接線の接点を \({\rm T}\) とする。\({\rm P}\) を通る直線がこの円と \(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で交わるとき、\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PT}^2\) が成り立つ。
[証明]
\(\triangle {\rm PTA}\) と \(\triangle {\rm PBT}\) において、\(\angle {\rm P}\) は共通であるので、
\(\angle {\rm TPA}=\angle {\rm BPT}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、\({\rm PT}\) は接線で、\({\rm T}\) は接点であるから、接線と弦の作る角の関係を用いると、
\(\angle {\rm PTA}=\angle {\rm PBT}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、\(2\) 組の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm PTA}\backsim\triangle {\rm PBT}\)
よって、対応する辺の比は等しいので、
\({\rm PA}:{\rm PT}={\rm PT}:{\rm PB}\)
これより、
\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PT}^2\)
したがって、\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PT}^2\) が成り立つ [終]
