- 数学A｜図形の性質「三角形の垂心の位置」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角形の垂心の位置
図形の性質 11辺 \({\rm AB}\) を斜辺とする直角三角形 \({\rm ABC}\) の垂心の位置は？また、垂心と内心、垂心と外心がそれぞれ一致する三角形は正三角形であることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
三角形の垂心の位置
Point：三角形の垂心の位置
定理：三角形の \(3\) つの頂点から、それぞれの対辺に下ろした垂線は \(1\) 点で交わる。
この点を三角形の垂心という。
※ 直角三角形の垂心は、\(90^\circ\) の角の頂点にある。
定理：三角形の \(3\) つの頂点から、それぞれの対辺に下ろした垂線は \(1\) 点で交わる。
この点を三角形の垂心という。
※ 直角三角形の垂心は、\(90^\circ\) の角の頂点にある。
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Point：垂心と内心・外心の一致
内心の条件（角の二等分線）より、
\(\angle {\rm BAD}=\angle {\rm CAD}\)
垂心の条件より、
\(\angle {\rm ADB}=\angle {\rm ADC}=90^\circ\)
よって、共通の辺 \({\rm AD}\) より、
\(\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm ACD}\)
これより、\({\rm AB}={\rm AC}\)
同様に、\({\rm BA}={\rm BC}\)
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形。
外心の条件（垂直二等分線）より、
\({\rm BD}={\rm CD}\)
垂心の条件より、
\(\angle {\rm ADB}=\angle {\rm ADC}=90^\circ\)
よって、共通の辺 \({\rm AD}\) より、
\(\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm ACD}\)
これより、\({\rm AB}={\rm AC}\)
同様に、\({\rm BA}={\rm BC}\)
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形。
■ 垂心と内心が一致するとき
内心の条件（角の二等分線）より、
\(\angle {\rm BAD}=\angle {\rm CAD}\)
垂心の条件より、
\(\angle {\rm ADB}=\angle {\rm ADC}=90^\circ\)
よって、共通の辺 \({\rm AD}\) より、
\(\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm ACD}\)
これより、\({\rm AB}={\rm AC}\)
同様に、\({\rm BA}={\rm BC}\)
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形。
■ 垂心と外心が一致するとき
外心の条件（垂直二等分線）より、
\({\rm BD}={\rm CD}\)
垂心の条件より、
\(\angle {\rm ADB}=\angle {\rm ADC}=90^\circ\)
よって、共通の辺 \({\rm AD}\) より、
\(\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm ACD}\)
これより、\({\rm AB}={\rm AC}\)
同様に、\({\rm BA}={\rm BC}\)
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形。
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詳しい解説｜三角形の垂心の位置
図形の性質 11辺 \({\rm AB}\) を斜辺とする直角三角形 \({\rm ABC}\) の垂心の位置は？また、垂心と内心、垂心と外心がそれぞれ一致する三角形は正三角形であることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
辺 \({\rm AB}\) が斜辺であり、\(\angle {\rm C}=90^\circ\) となる
垂心は、三角形の \(3\) つの頂点から、向かい合う辺（対辺）に下ろした垂線の交点より、
点 \({\rm A}\) から辺 \({\rm BC}\) に下ろした垂線の足は \({\rm C}\)
点 \({\rm B}\) から辺 \({\rm AC}\) に下ろした垂線の足は \({\rm C}\)
点 \({\rm C}\) から辺 \({\rm AB}\) に下ろした垂線も点 \({\rm C}\) を通る
したがって、垂心は点 \({\rm C}\) となる
[証明] 三角形の垂心と内心が点 \({\rm I}\) で一致するとすると、
直線 \({\rm AI}\) と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とすると、点 \({\rm I}\) が垂心であることより、
\({\rm AD}\perp{\rm BC}\)
よって、
\(\angle {\rm ADB}=\angle {\rm ADC}=90^\circ\)
また、点 \({\rm I}\) は内心であることより、直線 \({\rm AD}\) は \(\angle {\rm A}\) の二等分線となり、
\(\angle {\rm BAD}=\angle {\rm CAD}\)
共通の辺より、\({\rm AD}={\rm AD}\)
\(1\) 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm ACD}\)
よって、\({\rm AB}={\rm AC}\)
同様に、\({\rm BA}={\rm BC}\)
※ 点 \({\rm B}\) からも同様に考える。
これより、\({\rm AB}={\rm BC}={\rm CA}\)
したがって、垂心と内心が一致する三角形は正三角形である [終]
[証明] 三角形の垂心と外心が点 \({\rm O}\) で一致するとすると、
直線 \({\rm AO}\) と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とすると、点 \({\rm O}\) が垂心であることより、
\({\rm AD}\perp{\rm BC}\)
よって、
\(\angle {\rm ADB}=\angle {\rm ADC}=90^\circ\)
また、点 \({\rm O}\) は外心であることより、直線 \({\rm AD}\) は辺 \({\rm BC}\) の垂直二等分線となり、
\({\rm BD}={\rm CD}\)
共通の辺より、\({\rm AD}={\rm AD}\)
\(2\) 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm ACD}\)
よって、\({\rm AB}={\rm AC}\)
同様に、\({\rm BA}={\rm BC}\)
※ 点 \({\rm B}\) からも同様に考える。
これより、\({\rm AB}={\rm BC}={\rm CA}\)
したがって、垂心と外心が一致する三角形は正三角形である [終]
