- 数学A｜図形の性質「方べきの定理を用いた証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜方べきの定理を用いた証明
図形の性質 29\(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で交わる \(2\) つの円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) に直線 \({\rm AB}\) 上の点 \({\rm P}\) から接線 \({\rm PT}~,~{\rm PT}^{\prime}\) を引くとき、\({\rm PT}={\rm PT}^{\prime}\) であることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
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方べきの定理を用いた証明
解法のPoint
方べきの定理を用いた証明
Point：方べきの定理を用いた証明方べきの定理を用いた証明は、
① \(2\) つの円それぞれについての方べきの定理の式を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
{\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PT}^2
\\[3pt]{\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PT}^{\prime 2}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
② 連立することで、等式を証明する。
\({\rm PT}={\rm PT}^{\prime}\)
① \(2\) つの円それぞれについての方べきの定理の式を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
{\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PT}^2
\\[3pt]{\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PT}^{\prime 2}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
② 連立することで、等式を証明する。
\({\rm PT}={\rm PT}^{\prime}\)
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詳しい解説｜方べきの定理を用いた証明
図形の性質 29\(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で交わる \(2\) つの円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) に直線 \({\rm AB}\) 上の点 \({\rm P}\) から接線 \({\rm PT}~,~{\rm PT}^{\prime}\) を引くとき、\({\rm PT}={\rm PT}^{\prime}\) であることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
[証明]
円 \({\rm O}\) について、方べきの定理より、
\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PT}^2\)
次に、円 \({\rm O}^{\prime}\) について、方べきの定理より、
\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PT}^{\prime 2}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PT}^2&=&{\rm PT}^{\prime 2}\\[3pt]~~~{\rm PT}&=&{\rm PT}^{\prime}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm PT}={\rm PT}^{\prime}\) となる [終]
