- 数学A｜図形の性質「チェバの定理と線分の比」の基本例題解説ページです。
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問題｜チェバの定理と線分の比
図形の性質 12\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm P}\) 、辺 \({\rm AC}\) の中点を \({\rm Q}\) 、線分 \({\rm AP}\) と線分 \({\rm BQ}\) の交点を \({\rm O}\) 、直線 \({\rm CO}\) と辺 \({\rm AB}\) の交点を \({\rm R}\) とするとき、\({\rm AR}:{\rm RB}\) の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
チェバの定理と線分の比
Point：チェバの定理と線分の比
\(\triangle {\rm ABC}\) と内部の点 \({\rm O}\) において、頂点 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) と \({\rm O}\) を結ぶ直線が、辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) と交わる点を \({\rm P}~,~\)\({\rm Q}~,~\)\({\rm R}\) とすると、
① 求めたい比を含む三角形に着目して、頂点を出発して三角形を一周して元の頂点に戻るルートを考える。
頂点 \({\rm A}\) から出発し、内分点 \({\rm P}~,~\)\({\rm Q}~,~\)\({\rm R}\) を通って一周する。
\({\rm A} \to {\rm R} \to {\rm B} \to {\rm P} \to {\rm C} \to {\rm Q} \to {\rm A}\)
② このルートの比の値を順に掛け算するチェバの定理の式を立てる。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
③ 線分の長さや辺の比を代入し、求めたい辺の比を計算する。
チェバの定理を用いた線分の比は、
\(\triangle {\rm ABC}\) と内部の点 \({\rm O}\) において、頂点 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) と \({\rm O}\) を結ぶ直線が、辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) と交わる点を \({\rm P}~,~\)\({\rm Q}~,~\)\({\rm R}\) とすると、
① 求めたい比を含む三角形に着目して、頂点を出発して三角形を一周して元の頂点に戻るルートを考える。
頂点 \({\rm A}\) から出発し、内分点 \({\rm P}~,~\)\({\rm Q}~,~\)\({\rm R}\) を通って一周する。
\({\rm A} \to {\rm R} \to {\rm B} \to {\rm P} \to {\rm C} \to {\rm Q} \to {\rm A}\)
② このルートの比の値を順に掛け算するチェバの定理の式を立てる。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
③ 線分の長さや辺の比を代入し、求めたい辺の比を計算する。
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詳しい解説｜チェバの定理と線分の比
図形の性質12\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm P}\) 、辺 \({\rm AC}\) の中点を \({\rm Q}\) 、線分 \({\rm AP}\) と線分 \({\rm BQ}\) の交点を \({\rm O}\) 、直線 \({\rm CO}\) と辺 \({\rm AB}\) の交点を \({\rm R}\) とするとき、\({\rm AR}:{\rm RB}\) の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
\(\triangle {\rm ABC}\) についてのチェバの定理より、
\({\rm A} \to {\rm R} \to {\rm B} \to {\rm P} \to {\rm C} \to {\rm Q} \to {\rm A}\)
内分点 \({\rm P}~,~\)\({\rm Q}~,~\)\({\rm R}\) を通って一周することより、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
\({\rm BP}:{\rm PC}=2:3\) 、\({\rm CQ}:{\rm QA}=1:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AR}:{\rm RB}=3:2\) となる
