- 数学A｜図形の性質「三角形の内心と線分の比」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜三角形の内心と線分の比
図形の性質 07☆\({\rm AB}=6~,~{\rm BC}=5~,~{\rm AC}=4\) の \(\triangle {\rm ABC}\) の内心 \({\rm I}\) について、直線 \({\rm AI}\) と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm D}\) とするとき、\({\rm AI}:{\rm ID}\) の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
三角形の内心と線分の比
Point：三角形の内心と線分の比
① \(\angle {\rm A}\) の内角の二等分線と辺の関係より、\({\rm BD}\) を求める。
\({\rm BD}:{\rm DC}={\rm AB}:{\rm AC}\)
② \(\triangle {\rm ABD}\) の \(\angle {\rm B}\) の内角の二等分線と辺の関係より、\({\rm AI}:{\rm ID}\) を求める。
\({\rm AI}:{\rm ID}={\rm AB}:{\rm BD}\)
三角形の内心と線分の比は、
① \(\angle {\rm A}\) の内角の二等分線と辺の関係より、\({\rm BD}\) を求める。
\({\rm BD}:{\rm DC}={\rm AB}:{\rm AC}\)
② \(\triangle {\rm ABD}\) の \(\angle {\rm B}\) の内角の二等分線と辺の関係より、\({\rm AI}:{\rm ID}\) を求める。
\({\rm AI}:{\rm ID}={\rm AB}:{\rm BD}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜三角形の内心と線分の比
図形の性質 07☆\({\rm AB}=6~,~{\rm BC}=5~,~{\rm AC}=4\) の \(\triangle {\rm ABC}\) の内心 \({\rm I}\) について、直線 \({\rm AI}\) と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm D}\) とするとき、\({\rm AI}:{\rm ID}\) の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
内心 \({\rm I}\) は角の二等分線の交点であるので、
\(\angle {\rm A}\) の内角の二等分線と辺の関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}:{\rm DC}&=&{\rm AB}:{\rm AC}\\[3pt]~~~&=&6:4\\[3pt]~~~&=&3:2\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3+2\,}{\, \small \times \,}{\rm BC}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}5\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
次に、\(\triangle {\rm ABD}\) において、\(\angle {\rm B}\) の内角の二等分線と辺の関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AI}:{\rm ID}&=&{\rm AB}:{\rm BD}\\[3pt]~~~&=&6:3\\[3pt]~~~&=&2:1\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AI}:{\rm ID}=2:1\) となる
