- 数学A｜図形の性質「立方体のかどを切った多面体」の基本例題解説ページです。
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問題｜立方体のかどを切った多面体
図形の性質 46☆\(1\) 辺の長さ \(2\) の立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) において、各辺の中点を通る平面で \(8\) つのかどを切り取った多面体の表面積と体積の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
立方体のかどを切った多面体
Point：立方体のかどを切った多面体
■ この多面体の表面積
① \(6\) つの正方形の面積を求める。
② 切り取った \(8\) つの断面の正三角形の面積を求める。
③ 和をこの多面体の表面積とする。
① 立方体の体積を求める。
② 切り取られる正三角錐の \(1\) つの体積を求める。
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&この多面体の体積
\\[3pt]~~~&=&(立方体の体積)-(正三角錐の体積){\, \small \times \,}8\end{eqnarray}\)
立方体の \(8\) つのかどを切り取った多面体について、
■ この多面体の表面積
① \(6\) つの正方形の面積を求める。
② 切り取った \(8\) つの断面の正三角形の面積を求める。
③ 和をこの多面体の表面積とする。
■ この多面体の体積
① 立方体の体積を求める。
② 切り取られる正三角錐の \(1\) つの体積を求める。
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&この多面体の体積
\\[3pt]~~~&=&(立方体の体積)-(正三角錐の体積){\, \small \times \,}8\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜立方体のかどを切った多面体
図形の性質 46☆\(1\) 辺の長さ \(2\) の立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) において、各辺の中点を通る平面で \(8\) つのかどを切り取った多面体の表面積と体積の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
切り取った多面体は、\(6\) つの正方形は、正方形 \({\rm ABCD}\) の \(4\) つの辺の中点を結んでいるので、
\(1:1:\sqrt{2}\) の直角二等辺三角形より、\(1\) 辺の長さ \({\rm PQ}=\sqrt{2}\)
よって、この正方形 \(1\) つの面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}=2\end{eqnarray}\)
同じ面積の正方形が \(6\) つあるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2{\, \small \times \,}6=12~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
次に、切り取ったかどの断面は、\(1\) 辺が \(\sqrt{2}\) の正三角形となるので、
この正三角形 \({\rm PQT}\) の高さは、\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\sqrt{2}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、正三角形の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\sqrt{2}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
同じ面積の正三角形が \(8\) つあるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}8=4\sqrt{3}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、この多面体の表面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~12+4\sqrt{3}~となる\end{eqnarray}\)
次に、この立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) の体積は、\(1\) 辺の長さ \(2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2=8\end{eqnarray}\)
また、切り取られる正三角錐の \(1\) つ \({\rm BPQ}\) の体積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(1{\, \small \times \,}1{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right){\, \small \times \,}1{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
同じ体積の正三角錐が \(8\) つあるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}8=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
多面体の体積は、立方体より、この \(8\) つの正三角錐を引けばよいので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&8-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,24-4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,20\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、体積は \(\displaystyle \frac{\,20\,}{\,3\,}\) となる
