- 数学A｜図形の性質「トレミーの定理の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜トレミーの定理の証明
図形の性質 31☆円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) の対角線 \({\rm BD}\) 上に \(\angle {\rm BAE}=\angle {\rm CAD}\) となる点 \({\rm E}\) をとるとき、\(\triangle {\rm ABE} \backsim \triangle {\rm ACD}\) と \(\triangle {\rm ABC} \backsim \triangle {\rm AED}\) を示すことで \({\rm AB} \cdot {\rm CD}+{\rm BC} \cdot {\rm DA}={\rm AC} \cdot {\rm BD}\) を証明する方法は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
トレミーの定理の証明
Point：トレミーの定理の証明円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) と \(2\) 本の対角線 \({\rm AC}~,~{\rm BD}\) について、
トレミーの定理
\({\rm AB} \cdot {\rm CD}+{\rm BC} \cdot {\rm DA}={\rm AC} \cdot {\rm BD}\)
トレミーの定理
\({\rm AB} \cdot {\rm CD}+{\rm BC} \cdot {\rm DA}={\rm AC} \cdot {\rm BD}\)
※ \(2\) 組の向かい合う辺の積の和＝対角線の積となる。
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詳しい解説｜トレミーの定理の証明
図形の性質 31☆円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) の対角線 \({\rm BD}\) 上に \(\angle {\rm BAE}=\angle {\rm CAD}\) となる点 \({\rm E}\) をとるとき、\(\triangle {\rm ABE} \backsim \triangle {\rm ACD}\) と \(\triangle {\rm ABC} \backsim \triangle {\rm AED}\) を示すことで \({\rm AB} \cdot {\rm CD}+{\rm BC} \cdot {\rm DA}={\rm AC} \cdot {\rm BD}\) を証明する方法は？
高校数学A｜図形の性質
[証明]
\(\triangle {\rm ABE}\) と \(\triangle {\rm ACD}\) について、
仮定より、\(\angle {\rm BAE}=\angle {\rm CAD}\)
また、弧 \({\rm AD}\) に対する円周角より、
\(\angle {\rm ABE}=\angle {\rm ACD}\)
よって、\(2\) 組の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ABE} \backsim \triangle {\rm ACD}\)
次に、\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm AED}\) について、
弧 \({\rm AB}\) に対する円周角の定理より、
\(\angle {\rm ACB}=\angle {\rm ADE}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm BAC}&=&\angle {\rm BAE}+\angle {\rm EAC}\\[3pt]~~~\angle {\rm EAD}&=&\angle {\rm EAC}+\angle {\rm CAD}\end{eqnarray}\)
仮定より \(\angle {\rm BAE}=\angle {\rm CAD}\) であるので、
\(\angle {\rm BAC}=\angle {\rm EAD}\)
よって、\(2\) 組の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ABC} \backsim \triangle {\rm AED}\)
\(\triangle {\rm ABE} \backsim \triangle {\rm ACD}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}:{\rm BE}&=&{\rm AC}:{\rm CD}\\[3pt]~~~{\rm AB} \cdot {\rm CD}&=&{\rm AC} \cdot {\rm BE}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、\(\triangle {\rm ABC} \backsim \triangle {\rm AED}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BC}:{\rm CA}&=&{\rm ED}:{\rm DA}\\[3pt]~~~{\rm BC} \cdot {\rm DA}&=&{\rm CA} \cdot {\rm ED}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB} \cdot {\rm CD}+{\rm BC} \cdot {\rm DA}&=&{\rm AC} \cdot {\rm BE}+{\rm CA} \cdot {\rm ED}
\\[3pt]~~~&=&{\rm AC}({\rm BE}+{\rm ED})
\\[3pt]~~~&=&{\rm AC} \cdot {\rm BD}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AB} \cdot {\rm CD}+{\rm BC} \cdot {\rm DA}={\rm AC} \cdot {\rm BD}\) となる [終]
