- 数学A｜図形の性質「立方体内の正四面体」の基本例題解説ページです。
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問題｜立方体内の正四面体
図形の性質 45\(1\) 辺の長さ \(2\) の立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) において、立体 \({\rm BDEG}\) が正四面体であることの証明方法は？また、この正四面体の体積の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
立方体内の正四面体
Point：立方体内の正四面体立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) 内の立体 \({\rm BDEG}\) について、
■ 正四面体になることの証明
\({\small [\,1\,]}\) この立体の \(4\) つの面はすべて正三角形
\({\small [\,2\,]}\) \(4\) つの頂点に集まる面の数がすべて等しい
この \({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) を示せば、正四面体であるといえる。
① 立方体の体積を求める。
② 切り取られる正三角錐の \(1\) つの体積を求める。
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&正四面体の体積
\\[3pt]~~~&=&(立方体の体積)-(正三角錐の体積){\, \small \times \,}4\end{eqnarray}\)
■ 正四面体になることの証明
\({\small [\,1\,]}\) この立体の \(4\) つの面はすべて正三角形
\({\small [\,2\,]}\) \(4\) つの頂点に集まる面の数がすべて等しい
この \({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) を示せば、正四面体であるといえる。
■ 正四面体の体積
① 立方体の体積を求める。
② 切り取られる正三角錐の \(1\) つの体積を求める。
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&正四面体の体積
\\[3pt]~~~&=&(立方体の体積)-(正三角錐の体積){\, \small \times \,}4\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜立方体内の正四面体
図形の性質 45\(1\) 辺の長さ \(2\) の立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) において、立体 \({\rm BDEG}\) が正四面体であることの証明方法は？また、この正四面体の体積の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
[証明]
立方体の \(6\) つの面は合同な正方形で、対角線の長さはどれも等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}={\rm EG}={\rm BE}={\rm DG}={\rm DE}={\rm BG}\end{eqnarray}\)
よって、立体 \({\rm BDEG}\) の \(4\) つの面はすべて正三角形となる \(\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、立体 \({\rm BDEG}\) の \(4\) つの頂点に集まる面の数はすべて等しい \(\cdots {\small [\,2\,]}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、この立体は正四面体となる [終]
次に、この立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) の体積は、\(1\) 辺の長さ \(2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2=8\end{eqnarray}\)
また、切り取られる正三角錐の \(1\) つ \({\rm ABDE}\) の体積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right){\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
切り取られる正三角錐は \(4\) つなので、この正四面体の体積 \(V\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~V&=&8-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,24-16\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、体積は \(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\) となる
