- 数学A｜図形の性質「方べきの定理の逆と同一円周上にある証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜方べきの定理の逆と同一円周上にある証明
図形の性質 30\(2\) つの円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) が点 \({\rm T}\) で同じ直線に接しており、この接線上の点 \({\rm T}\) と異なる点 \({\rm P}\) から円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) に引いた直線との交点をそれぞれ \({\rm A}~,~{\rm B}\) と \({\rm C}~,~{\rm D}\) とするとき、\(4\) 点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}~,~\)\({\rm C}~,~\)\({\rm D}\) が同一円周上にあることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
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方べきの定理の逆と同一円周上にある証明
解法のPoint
方べきの定理の逆と同一円周上にある証明
Point：方べきの定理の逆と同一円周上にある証明方べきの定理の逆を用いた、\(4\) 点が同一円周上にあることの証明は、
① \(2\) つの円それぞれについて、方べきの定理を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
{\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PT}^2
\\[3pt]{\rm PC} \cdot {\rm PD}={\rm PT}^2
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
② 方べきの定理の逆より、\(4\) 点が同一円周上にあることを示す。
方べきの定理の逆：\(2\) つの線分 \({\rm AB}\) と \({\rm CD}\) 、またはそれらの延長が点 \({\rm P}\) で交わるとき、\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PC} \cdot {\rm PD}\) が成り立つならば、\(4\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}~,~{\rm D}\) は \(1\) つの円周上にある。
① \(2\) つの円それぞれについて、方べきの定理を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
{\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PT}^2
\\[3pt]{\rm PC} \cdot {\rm PD}={\rm PT}^2
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
② 方べきの定理の逆より、\(4\) 点が同一円周上にあることを示す。
方べきの定理の逆：\(2\) つの線分 \({\rm AB}\) と \({\rm CD}\) 、またはそれらの延長が点 \({\rm P}\) で交わるとき、\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PC} \cdot {\rm PD}\) が成り立つならば、\(4\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}~,~{\rm D}\) は \(1\) つの円周上にある。
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詳しい解説｜方べきの定理の逆と同一円周上にある証明
図形の性質 30\(2\) つの円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) が点 \({\rm T}\) で同じ直線に接しており、この接線上の点 \({\rm T}\) と異なる点 \({\rm P}\) から円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) に引いた直線との交点をそれぞれ \({\rm A}~,~{\rm B}\) と \({\rm C}~,~{\rm D}\) とするとき、\(4\) 点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}~,~\)\({\rm C}~,~\)\({\rm D}\) が同一円周上にあることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
[証明]
円 \({\rm O}\) について、方べきの定理より、
\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PT}^2\)
次に、円 \({\rm O}^{\prime}\) について、方べきの定理より、
\({\rm PC} \cdot {\rm PD}={\rm PT}^2\)
よって、
\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PC} \cdot {\rm PD}\)
したがって、方べきの定理の逆より、\(4\) 点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}~,~\)\({\rm C}~,~\)\({\rm D}\) は同一円周上にある [終]
