- 数学A｜図形の性質「三角形の重心と面積比」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角形の重心と面積比
図形の性質 09\(\triangle {\rm ABC}\) と重心 \({\rm G}\)、辺 \({\rm BC}\) の中点 \({\rm M}\) において、\(\triangle {\rm BAG}\) と \(\triangle {\rm BGM}\) の面積比、\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm GBC}\) の面積比の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
三角形の重心と面積比
Point：三角形の重心と面積比
定理：三角形の \(3\) 本の中線は、\(1\) 点で交わり、その点は各中線を \(2:1\) に内分する。
この点を三角形の重心という。
※ 中線は、頂点と対辺の中点を結ぶ。
\({\small [\,1\,]}\) 各辺の中点
\({\rm AR}={\rm RB}~,~{\rm BP}={\rm PC}~,~{\rm CQ}={\rm QA}\)
\({\small [\,2\,]}\) 中線を \(2:1\) に内分する
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AG}:{\rm GP}&=&2:1\\[3pt]~~~{\rm BG}:{\rm GQ}&=&2:1\\[3pt]~~~{\rm CG}:{\rm GR}&=&2:1\end{eqnarray}\)
定理：三角形の \(3\) 本の中線は、\(1\) 点で交わり、その点は各中線を \(2:1\) に内分する。
この点を三角形の重心という。
※ 中線は、頂点と対辺の中点を結ぶ。
■ 三角形の重心と比
\({\small [\,1\,]}\) 各辺の中点
\({\rm AR}={\rm RB}~,~{\rm BP}={\rm PC}~,~{\rm CQ}={\rm QA}\)
\({\small [\,2\,]}\) 中線を \(2:1\) に内分する
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AG}:{\rm GP}&=&2:1\\[3pt]~~~{\rm BG}:{\rm GQ}&=&2:1\\[3pt]~~~{\rm CG}:{\rm GR}&=&2:1\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜三角形の重心と面積比
図形の性質 09\(\triangle {\rm ABC}\) と重心 \({\rm G}\)、辺 \({\rm BC}\) の中点 \({\rm M}\) において、\(\triangle {\rm BAG}\) と \(\triangle {\rm BGM}\) の面積比、\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm GBC}\) の面積比の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
\(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) は、中線 \({\rm AM}\) 上にあり、中線 \({\rm AM}\) を \(2:1\) に内分する
\({\rm AG}:{\rm GM}=2:1\)
\(\triangle {\rm BAG}\) と \(\triangle {\rm BGM}\) について、\({\rm AG}\) と \({\rm GM}\) を底辺としたとき、高さが等しいので、面積の比は底辺の比となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm BAG}:\triangle {\rm BGM}&=&{\rm AG}:{\rm GM}\\[3pt]~~~&=&2:1\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm GBC}\) について、\({\rm BC}\) を底辺とすると、高さの比は \({\rm AM}:{\rm GM}\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AM}:{\rm GM}&=&2+1:1\\[3pt]~~~&=&3:1\end{eqnarray}\)
底辺が等しいので、面積の比は高さの比となるので、
\(\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm GBC}=3:1\)
したがって、
\(\triangle {\rm BAG}:\triangle {\rm BGM}=2:1~,~\)
\(\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm GBC}=3:1\) となる
