- 数学A｜整数の性質「3の倍数・9の倍数の判別」の基本例題解説ページです。
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問題｜3の倍数・9の倍数の判別
整数の性質 04\(5\) 桁の自然数 \(1732\square\) が \(3\) の倍数 or \(9\) の倍数となるとき、\(\square\) に入る数の求め方は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
3の倍数・9の倍数の判別
Point：倍数の判別
各位の数字の和が \(3\) の倍数である。
※ \(3\) 桁の自然数 \(100a+10b+c\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~&&100a+10b+c
\\[3pt]~~~&=&(99a+9b)+(a+b+c)
\\[3pt]~~~&=&3(33a+3b)+(a+b+c)\end{eqnarray}\)
よって、各位の数字の和 \(a+b+c\) が \(3\) の倍数であれば \(3\) の倍数となる。これは \(4\) 桁以上でも同様に成り立つ。
各位の数字の和が \(9\) の倍数である。
※ \(3\) 桁の自然数 \(100a+10b+c\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~&&100a+10b+c
\\[3pt]~~~&=&(99a+9b)+(a+b+c)
\\[3pt]~~~&=&9(11a+b)+(a+b+c)\end{eqnarray}\)
よって、各位の数字の和 \(a+b+c\) が \(9\) の倍数であれば \(9\) の倍数となる。これは \(4\) 桁以上でも同様に成り立つ。
■ \(3\) の倍数の判別
各位の数字の和が \(3\) の倍数である。
※ \(3\) 桁の自然数 \(100a+10b+c\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~&&100a+10b+c
\\[3pt]~~~&=&(99a+9b)+(a+b+c)
\\[3pt]~~~&=&3(33a+3b)+(a+b+c)\end{eqnarray}\)
よって、各位の数字の和 \(a+b+c\) が \(3\) の倍数であれば \(3\) の倍数となる。これは \(4\) 桁以上でも同様に成り立つ。
■ \(9\) の倍数の判別
各位の数字の和が \(9\) の倍数である。
※ \(3\) 桁の自然数 \(100a+10b+c\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~&&100a+10b+c
\\[3pt]~~~&=&(99a+9b)+(a+b+c)
\\[3pt]~~~&=&9(11a+b)+(a+b+c)\end{eqnarray}\)
よって、各位の数字の和 \(a+b+c\) が \(9\) の倍数であれば \(9\) の倍数となる。これは \(4\) 桁以上でも同様に成り立つ。
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詳しい解説｜3の倍数・9の倍数の判別
整数の性質 04\(5\) 桁の自然数 \(1732\square\) が \(3\) の倍数 or \(9\) の倍数となるとき、\(\square\) に入る数の求め方は？
高校数学A｜整数の性質
\(1732\square\) の各位の数字の和は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+7+3+2+\square
\\[3pt]~~~&=&13+\square\end{eqnarray}\)
\(3\) の倍数のとき、各位の数字の和が \(3\) の倍数となるので、
\(\begin{array}{ll}
13+\square & \\
\hline
13+0 & 13 \\
13+1 & 14 \\
13+2 & 15 \quad 〇 \\
13+3 & 16 \\
13+4 & 17 \\
13+5 & 18 \quad 〇 \\
13+6 & 19 \\
13+7 & 20 \\
13+8 & 21 \quad 〇 \\
13+9 & 22
\end{array}\)
したがって、\(\square\) に入る数は \(2~,~5~,~8\) となる
\(9\) の倍数となるとき、各位の数字の和が \(9\) の倍数となればよいので、
\(\begin{array}{ll}
13+\square & \\
\hline
13+2 & 15 \\
13+5 & 18 \quad 〇 \\
13+8 & 21
\end{array}\)
したがって、\(\square\) に入る数は \(5\) となる
※ \(9\) の倍数は \(3\) の倍数でもあるので、\(3\) の倍数の \(\square=2~,~5~,~8\) を調べればよい。
