- 数学A「整数の性質」の基本例題一覧ページです。
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約数と倍数
01｜約数と倍数の求め方
整数の性質 01\(24\) の約数をすべて求める方法は？また、\(4\) の正の倍数で \(30\) 以下のものをすべて求める方法は？
02｜倍数であることの証明
整数の性質 02\(a~,~b\) を整数として、\(a\) と \(b\) がともに \(3\) の倍数のとき、\(a^2+b^2\) が \(9\) の倍数となることの証明の方法は？
03｜4の倍数・5の倍数・8の倍数の判別
整数の性質 03\(4\) 桁の自然数 \(114\square\) が \(4\) の倍数 or \(5\) の倍数 or \(8\) の倍数となるとき、\(\square\) に入る数の求め方は？
04｜3の倍数・9の倍数の判別
整数の性質 04\(5\) 桁の自然数 \(1732\square\) が \(3\) の倍数 or \(9\) の倍数となるとき、\(\square\) に入る数の求め方は？
05☆｜11の倍数の判別
整数の性質 05☆\(5\) 桁の自然数 \(1839\square\) が \(11\) の倍数となるとき、\(\square\) に入る数の求め方は？
06☆｜等式を満たす整数x、yの組
整数の性質 06☆等式 \(xy+2x-y-6=0\) を満たす整数解をすべて求める方法は？
07☆｜2次式の等式を満たす自然数x、yの組
整数の性質 07☆\(3x^2+4xy+y^2+7x+3y+2\) の因数分解を用いて、等式 \(3x^2+4xy+y^2+7x+3y-40=0\) を満たす自然数 \(x~,~y\) の組をすべて求める方法は？
素数と素因数分解
08｜素因数分解の方法
整数の性質 08\(48~,~\)\(540~,~\)\(2268\) の素因数分解の方法は？
09｜平方根の値が自然数となる条件
整数の性質 09\(\sqrt{\,120n\,}\) が自然数となるような最小の自然数 \(n\) の求め方は？また、\(\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,72\,}{\,n\,}\,}\) が自然数となるような最小の自然数 \(n\) の求め方は？
10｜素因数分解と正の約数
整数の性質 10\(40~,~\)\(126\) の正の約数を素因数分解を用いてすべて求める方法は？また、正の約数の個数とその総和の求め方は？
11☆｜倍数と約数の個数の条件と自然数
整数の性質 11☆\(12\) の倍数で正の約数の個数が \(15\) 個の自然数 \(n\) をすべて求める方法は？
12☆｜素因数分解と末尾の0の個数
整数の性質 12☆自然数 \(N=30\,!\) の素因数 \(2\) の個数の求め方は？また、\(N\) を計算すると末尾に \(0\) は何個連続して並ぶか？
最大公約数と最小公倍数
13｜素因数分解と最大公約数・最小公倍数
整数の性質 13\(72\) と \(336\) 、\(36\) と \(120\) と \(126\) の最大公約数と最小公倍数を素因数分解を用いて求める方法は？
14｜互いに素の2つの整数
整数の性質 14\(2\) つの整数 \(6\) と \(21\) 、\(15\) と \(35\) 、\(28\) と \(33\) の中で互いに素であるものは？
15☆｜自然数nとの最小公倍数の条件
整数の性質 15☆\(36\) と自然数 \(n\) との最小公倍数が \(360\) のとき、整数 \(n\) の値をすべて求める方法は？
16☆｜互いに素を用いた倍数の証明
整数の性質 16☆\(n\) を整数として、\(n+1\) が \(7\) の倍数、\(n+3\) が \(5\) の倍数のとき、\(n+8\) が \(35\) の倍数であることの証明方法は？
17☆｜最大公約数と最小公倍数の性質
整数の性質 17☆最大公約数が \(6\) 、最小公倍数が \(180\) である \(2\) つの自然数 \(a~,~b~(a \lt b)\) をすべて求める方法は？
18☆｜2つの自然数の積と最大公約数
整数の性質 18☆最大公約数が \(10\) 、積が \(1800\) である \(2\) つの自然数 \(a~,~b~(a \lt b)\) をすべて求める方法は？
19☆｜2つの分数を自然数にする分数
整数の性質 19☆\(2\) つの分数 \(\displaystyle \frac{\,35\,}{\,6\,}\) 、\(\displaystyle \frac{\,49\,}{\,15\,}\) のどちらに掛けても積が自然数となるような最小の分数の求め方は？
整数の割り算
20｜整数の割り算・商と余りの式
整数の性質 20\(a=24\) を \(b=9\) で割ったときの商 \(q\) と余り \(r\)\((0{\small ~≦~}r\lt b)\) と \(a~,~b~,~q~,~r\) に成り立つ式は？また、\(a=-58~,~b=9\) のときでは？
21｜商と余りの式を用いた余りの計算
整数の性質 21\(2\) つの整数 \(a~,~b\) について、\(a\) を \(5\) で割ると \(2\) 余り、\(b\) を \(5\) で割ると \(3\) 余るとき、\(a+b\) や \(a-b\) や \(ab\) を \(5\) で割った余りの求め方は？
22｜余りによる分類と倍数の証明
整数の性質 22奇数の \(2\) 乗から \(1\) を引いた数は \(8\) の倍数であることの証明方法は？また、\(n\) を整数として、\(n^2\) を \(3\) で割った余りが \(0\) か \(1\) であることの証明方法は？
23｜連続する整数の積の証明
整数の性質 23\(n\) を整数として、\(n(n+1)(n+2)\) が \(6\) の倍数であることの証明方法は？
24☆｜割り算と余りの性質とaⁿの余り
整数の性質 24☆\(7^{100}\) を \(3\) で割ったときの余りの求め方は？また、\(7^{100}\) を \(8\) で割ったときの余りの求め方は？
合同式
25☆｜合同式の定義と表し方
整数の性質 25☆合同式 \(15\equiv \square \pmod{11}~,~\)\(15\equiv \square \pmod{7}~,~\)\(21\equiv \square \pmod{6}~,~\)\(37\equiv \square \pmod{5}\) の \(\square\) に入る最小の正の整数の求め方は？
26☆｜合同式を用いたaⁿの余り
整数の性質 26☆\(10^{50}~,~\)\(5^{100}~,~\)\(5^{99}\) を \(3\) で割ったときの余りを合同式を用いて求める方法は？
27☆｜合同式を用いた余りの計算と証明
整数の性質 27☆\(n\) を整数として、\(n\) を \(5\) で割った余りが \(2\) のとき、\(n^2+5n+8\) を \(5\) で割った余りを合同式を用いて求める方法は？また、\(n\) を整数として、\(n^2\) を \(3\) で割った余りが \(0\) か \(1\) であることを合同式を用いた証明方法は？
28☆｜合同式とaⁿの一の位の数
整数の性質 28☆\(13^{123}\) の一の位の数を合同式を用いて求める方法は？
ユークリッドの互除法
29｜ユークリッドの互除法と最大公約数
整数の性質 29\(231\) と \(176\) の最大公約数をユークリッドの互除法で求める方法は？
30｜ユークリッドの互除法と等式を満たす整数
整数の性質 30等式 \(23x+16y=1~,~\)\(40x+17y=2\) を満たす整数 \(x~,~y\) の組の \(1\) つの求め方は？
31｜1次不定方程式の整数解
整数の性質 31方程式 \(5x+2y=0~,~\)\(5x+2y=1~,~\)\(5x+2y=2\) の整数解をすべて求める方法は？
32｜ユークリッドの互除法と1次不定方程式
整数の性質 32方程式 \(23x+16y=1~,~\)\(23x+16y=3\) の整数解をすべて求める方法は？
33☆｜余りの条件と1次不定方程式
整数の性質 33☆ある自然数 \(n\) を \(7\) で割ると \(3\) 余り、\(5\) で割ると \(1\) 余るとき、\(3\) 桁で最小の自然数 \(n\) の求め方は？
n進法
34｜n進法の数を10進法で表す
整数の性質 34\(10101_{(2)}~,~\)\(12102_{(3)}~,~\)\(1234_{(5)}\) をそれぞれ \(10\) 進法で表す方法は？
35｜10進法の数をn進法で表す
整数の性質 35\(10\) 進法の数の \(52\) [ \(2\) 進法 ] 、\(89\) [ \(5\) 進法 ] 、\(372\) [ \(8\) 進法 ] を [ ] 内の表し方で表す方法は？
36｜n進法の小数を10進法で表す
整数の性質 36\(0.101_{(2)}~,~\)\(0.432_{(5)}\) をそれぞれ \(10\) 進法で表す方法は？
37｜10進法の小数をn進法で表す
整数の性質 37\(10\) 進法の小数 \(0.8125\) を \(2\) 進法や \(5\) 進法で表す方法は？
38☆｜2進法の四則計算
整数の性質 38☆\(1110_{(2)}+1011_{(2)}~,~\)\(10101_{(2)}-1011_{(2)}~,~\)\(1101_{(2)} {\, \small \times \,} 101_{(2)}~,~\)\(110111_{(2)} {\, \small \div \,} 1011_{(2)}\) の計算方法は？
39☆｜n進法の四則計算
整数の性質 39☆\(2032_{(5)}+1124_{(5)}~,~\)\(1211_{(3)}-122_{(3)}~,~\)\(232_{(5)} {\, \small \times \,} 24_{(5)}\) の計算方法は？
40☆｜n進法の数列
整数の性質 40☆\(3\) 種類の数字 \(0~,~1~,~2\) を用いて表される自然数を小さい順に並べる \(\,1~,~\)\(2~,~\)\(10~,~\)\(11~,~\)\(12~,~\)\(20~,~\)\(21~,~\)\(22~,~\)\(100~,~\cdots\,\) とき、\(100\) 番目の数の求め方は？また、\(1212\) は何番目かの求め方は？
整数の性質｜応用問題
41★｜絞り込みが必要な方程式の整数解
整数の性質 41★等式 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}=1~,~\)\(x \lt y \lt z\) を満たす自然数 \(x~,~y~,~z\) の組の求め方は？
