- 数学A｜整数の性質「2次式の等式を満たす自然数x、yの組」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次式の等式を満たす自然数x、yの組
整数の性質 07☆\(3x^2+4xy+y^2+7x+3y+2\) の因数分解を用いて、等式 \(3x^2+4xy+y^2+7x+3y-40=0\) を満たす自然数 \(x~,~y\) の組をすべて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
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2次式の等式を満たす自然数x、yの組
解法のPoint
2次式の等式を満たす自然数x、yの組
Point：2次式の等式を満たす自然数x、yの組2次式の等式を満たす整数 \(x~,~y\) の組は、
① \(x\) について整理し、2次式を因数分解する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&3x^2+4xy+y^2+7x+3y+2
\\[3pt]~~~&=&(3x+y+1)(x+y+2)\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~3x^2+4xy+y^2+7x+3y-40&=&0
\\[3pt]~~~(3x+y+1)(x+y+2)&=&42\end{eqnarray}\)
② \(3x+y+1\) と \(x+y+2\) のとりうる値の範囲を求める。
\(x~,~y\) が自然数より、\(x{\small ~≧~}1~,~y{\small ~≧~}1\) であるので、
\(3x+y+1{\small ~≧~}5~,~x+y+2{\small ~≧~}4\)
※ \(42\) の約数を \(2\) つ並べる組合せは多いので、範囲を絞っておく。
③ 積が整数になる組合せを考えて、整数 \(x~,~y\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}3x+y+1\\x+y+2\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}6\\7\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}7\\6\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
※ \(x~,~y\) が自然数を満たすか注意する。
① \(x\) について整理し、2次式を因数分解する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&3x^2+4xy+y^2+7x+3y+2
\\[3pt]~~~&=&(3x+y+1)(x+y+2)\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~3x^2+4xy+y^2+7x+3y-40&=&0
\\[3pt]~~~(3x+y+1)(x+y+2)&=&42\end{eqnarray}\)
② \(3x+y+1\) と \(x+y+2\) のとりうる値の範囲を求める。
\(x~,~y\) が自然数より、\(x{\small ~≧~}1~,~y{\small ~≧~}1\) であるので、
\(3x+y+1{\small ~≧~}5~,~x+y+2{\small ~≧~}4\)
※ \(42\) の約数を \(2\) つ並べる組合せは多いので、範囲を絞っておく。
③ 積が整数になる組合せを考えて、整数 \(x~,~y\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}3x+y+1\\x+y+2\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}6\\7\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}7\\6\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
※ \(x~,~y\) が自然数を満たすか注意する。
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詳しい解説｜2次式の等式を満たす自然数x、yの組
整数の性質 07☆\(3x^2+4xy+y^2+7x+3y+2\) の因数分解を用いて、等式 \(3x^2+4xy+y^2+7x+3y-40=0\) を満たす自然数 \(x~,~y\) の組をすべて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
\(x\) について整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&3x^2+4xy+y^2+7x+3y+2
\\[3pt]~~~&=&3x^2+(4y+7)x+(y^2+3y+2)
\\[3pt]~~~&=&3x^2+(4y+7)x+(y+1)(y+2)\end{eqnarray}\)
文字式のたすき掛けをすると、
\(\begin{array}{c c c|c}
~~~3&&(y+1)~&~y+1\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~1&&(y+2)~&~3y+6\\[2pt]
\hline
&&&4y+7
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{3x+(y+1)\}\{x+(y+2)\}
\\[3pt]~~~&=&(3x+y+1)(x+y+2)\end{eqnarray}\)
よって、等式 \(3x^2+4xy+y^2+7x+3y-40=0\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~3x^2+4xy+y^2+7x+3y-40&=&0
\\[3pt]~~~3x^2+4xy+y^2+7x+3y+2-42&=&0
\\[3pt]~~~(3x+y+1)(x+y+2)&=&42\end{eqnarray}\)
ここで、\(x~,~y\) は自然数より、\(x{\small ~≧~}1~,~y{\small ~≧~}1\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~3x+y+1&{\small ~≧~}&3\cdot1+1+1\\[3pt]~~~3x+y+1&{\small ~≧~}&5\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y+2&{\small ~≧~}&1+1+2\\[3pt]~~~x+y+2&{\small ~≧~}&4\end{eqnarray}\)
また、\(42=2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}7\) より、\(3x+y+1~,~x+y+2\) は \(42\) の約数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}3x+y+1\\x+y+2\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}6\\7\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}7\\6\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]~\)\(\left(\,\begin{array}{c}6\\7\,\end{array}\right)\) の場合
\(\begin{eqnarray}~~~~~
3x+y+1&=&6 \\~~
-\big{)}~~~x+y+2&=&7\\
\hline 2x-1&=&-1
\\[3pt] 2x&=&0
\\[3pt] x&=&0\end{eqnarray}\)
\(x{\small ~≧~}1\) より、不適
\(\small [\,2\,]~\)\(\left(\,\begin{array}{c}7\\6\,\end{array}\right)\) の場合
\(\begin{eqnarray}~~~~~
3x+y+1&=&7 \\~~
-\big{)}~~~x+y+2&=&6\\
\hline 2x-1&=&1
\\[3pt] 2x&=&2
\\[3pt] x&=&1\end{eqnarray}\)
\(x+y+2=6\) に \(x=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~1+y+2&=&6
\\[3pt]~~~y&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\((x~,~y)\) の組は \((1~,~3)\) となる
