- 数学A｜整数の性質「素因数分解と末尾の0の個数」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜素因数分解と末尾の0の個数
整数の性質 12☆自然数 \(N=30\,!\) の素因数 \(2\) の個数の求め方は？また、\(N\) を計算すると末尾に \(0\) は何個連続して並ぶか？
高校数学A｜整数の性質
練習問題アーカイブページはこちら→
素因数分解と末尾の0の個数
解法のPoint
素因数分解と末尾の0の個数
Point：素因数分解と末尾の0の個数末尾に並ぶ \(0\) の個数は、
① 自然数の積より、\(5\) の倍数や \(25\) の倍数の個数をそれぞれ調べる。
\(1\) ～ \(30\) の自然数の中で、
\(5\) の倍数 \(6\) 個、\(25\) の倍数 \(1\) 個
② 素因数 \(5\) の個数を求める。
\(25=5^2\) は、\(5\) の倍数・\(25\) の倍数として \(2\) 回数えられ、ちょうど素因数 \(5\) を \(2\) 個もつことと対応している。このように重ねて数えることで、各数がもつ素因数 \(5\) の個数を正しく合計できる。
\(\begin{array}{c|cccccc|c}&5&10&15&20&25&30&\\\hline 5&○&○&○&○&○&○&6個\\25&&&&&○&&1個\end{array}\)
これより、素因数 \(5\) は \(7\) 個
③ 素因数 \(2\) の個数は素因数 \(5\) の個数より多いので、素因数 \(5\) の個数が末尾の \(0\) の個数となる。
素因数 \(5\) の個数
＝素因数 \(10\) の個数
＝末尾に並ぶ \(0\) の個数
① 自然数の積より、\(5\) の倍数や \(25\) の倍数の個数をそれぞれ調べる。
\(1\) ～ \(30\) の自然数の中で、
\(5\) の倍数 \(6\) 個、\(25\) の倍数 \(1\) 個
② 素因数 \(5\) の個数を求める。
\(25=5^2\) は、\(5\) の倍数・\(25\) の倍数として \(2\) 回数えられ、ちょうど素因数 \(5\) を \(2\) 個もつことと対応している。このように重ねて数えることで、各数がもつ素因数 \(5\) の個数を正しく合計できる。
\(\begin{array}{c|cccccc|c}&5&10&15&20&25&30&\\\hline 5&○&○&○&○&○&○&6個\\25&&&&&○&&1個\end{array}\)
これより、素因数 \(5\) は \(7\) 個
③ 素因数 \(2\) の個数は素因数 \(5\) の個数より多いので、素因数 \(5\) の個数が末尾の \(0\) の個数となる。
素因数 \(5\) の個数
＝素因数 \(10\) の個数
＝末尾に並ぶ \(0\) の個数
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜素因数分解と末尾の0の個数
整数の性質 12☆自然数 \(N=30\,!\) の素因数 \(2\) の個数の求め方は？また、\(N\) を計算すると末尾に \(0\) は何個連続して並ぶか？
高校数学A｜整数の性質
\(\begin{eqnarray}~~~N&=&30\,!\\[3pt]~~~&=&30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot~ \cdots~ \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot~ \cdots~ \cdot 28 \cdot 29 \cdot 30\end{eqnarray}\)
\(1\) ～ \(30\) の自然数の中で \(2\) の倍数は、
\(\{\,2 \cdot 1~,~2 \cdot 2~,~ \cdots~,~2 \cdot 15\,\}\)
これより \(15\) 個
\(4\) の倍数は、
\(\{\,4 \cdot 1~,~4 \cdot 2~,~ \cdots~,~4 \cdot 7\,\}\)
これより \(7\) 個
\(8\) の倍数は、
\(\{\,8 \cdot 1~,~8 \cdot 2~,~8 \cdot 3\,\}\)
これより \(3\) 個
\(16\) の倍数は、
\(\{\,16 \cdot 1\,\}\)
これより \(1\) 個
\(\begin{array}{c|cccccccccccccc c|c}&2&4&6&8&10&12&14&16&18&20&22&24&26&28&30&\\\hline 2&○&○&○&○&○&○&○&○&○&○&○&○&○&○&○&15個\\4&&○&&○&&○&&○&&○&&○&&○&&7個\\8&&&&○&&&&○&&&&○&&&&3個\\16&&&&&&&&○&&&&&&&&1個\end{array}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、素因数 \(2\) の個数は、
\(15+7+3+1=26\)
したがって、素因数 \(2\) の個数は \(26\) 個となる
※ 例えば \(8=2^3\) は、\(2\) の倍数・\(4\) の倍数・\(8\) の倍数として \(3\) 回数えられ、ちょうど素因数 \(2\) を \(3\) 個もつことと対応している。このように重ねて数えることで、各数がもつ素因数 \(2\) の個数を正しく合計できる。
また、\(N\) を計算したとき末尾に \(0\) が何個連続して並ぶかは、素因数 \(10\) の個数と等しいので、
\(1\) ～ \(30\) で自然数の中で \(5\) の倍数は、
\(\{\,5 \cdot 1~,~5 \cdot 2~,~5 \cdot 3~,~5 \cdot 4~,~5 \cdot 5~,~5 \cdot 6\,\}\)
これより \(6\) 個
\(25\) の倍数は、
\(\{\,25 \cdot 1\,\}\)
これより \(1\) 個
\(\begin{array}{c|cccccc|c}&5&10&15&20&25&30&\\\hline 5&○&○&○&○&○&○&6個\\25&&&&&○&&1個\end{array}\)
よって、素因数 \(5\) は \(7\) 個で、素因数 \(2\) は \(26\) 個なので、素因数 \(10\) は \(7\) 個できる
したがって、\(N\) を計算した末尾に \(0\) が \(7\) 個並ぶ
