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問題｜余りによる分類と倍数の証明
整数の性質 22奇数の \(2\) 乗から \(1\) を引いた数は \(8\) の倍数であることの証明方法は？また、\(n\) を整数として、\(n^2\) を \(3\) で割った余りが \(0\) か \(1\) であることの証明方法は？
高校数学A｜整数の性質
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余りによる分類と倍数の証明
解法のPoint
余りによる分類と倍数の証明
Point：余りによる分類と倍数の証明■ 余りによる整数の分類
・\(2\) で割った余りは \(0\) か \(1\) より、
\(n=2k~,~2k+1\)
・\(3\) で割った余りは \(0~,~1~,~2\) より、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\(n^2\) を \(3\) で割った余りが \(0\) か \(1\) の証明は、
① 整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類する。
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
② それぞれの場合で \(n^2\) を計算し、余りが \(0\) か \(1\) になることを示す。
・\(2\) で割った余りは \(0\) か \(1\) より、
\(n=2k~,~2k+1\)
・\(3\) で割った余りは \(0~,~1~,~2\) より、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
■ 余りの分類の証明
\(n^2\) を \(3\) で割った余りが \(0\) か \(1\) の証明は、
① 整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類する。
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
② それぞれの場合で \(n^2\) を計算し、余りが \(0\) か \(1\) になることを示す。
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詳しい解説｜余りによる分類と倍数の証明
整数の性質 22奇数の \(2\) 乗から \(1\) を引いた数は \(8\) の倍数であることの証明方法は？また、\(n\) を整数として、\(n^2\) を \(3\) で割った余りが \(0\) か \(1\) であることの証明方法は？
高校数学A｜整数の性質
[証明] この奇数 \(n\) を整数 \(k\) を用いて
\(n=2k+1\)
と表すと、奇数 \(n\) の \(2\) 乗から \(1\) を引いた数は、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2-1&=&(2k+1)^2-1\\[3pt]~~~&=&(4k^2+4k+1)-1\\[3pt]~~~&=&4k^2+4k\\[3pt]~~~&=&4k(k+1)\end{eqnarray}\)
連続する \(2\) つの整数 \(k~,~k+1\) の少なくとも一方は \(2\) の倍数になるので、
これより、\(4k(k+1)\) は \(8\) の倍数
したがって、奇数の \(2\) 乗から \(1\) を引いた数は、\(8\) の倍数となる [終]
この整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=3k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k)^2\\[3pt]~~~&=&9k^2\\[3pt]~~~&=&3(3k^2)\end{eqnarray}\)
\(3k^2\) は整数より、
\(3\) で割った余りは \(0\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k+1)^2\\[3pt]~~~&=&9k^2+6k+1\\[3pt]~~~&=&3(3k^2+2k)+1\end{eqnarray}\)
\(3k^2+2k\) は整数より、
\(3\) で割った余りは \(1\) になる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k+2)^2\\[3pt]~~~&=&9k^2+12k+4\\[3pt]~~~&=&3(3k^2+4k+1)+1\end{eqnarray}\)
\(3k^2+4k+1\) は整数より、
\(3\) で割った余りは \(1\) になる
したがって、\(n^2\) を \(3\) で割った余りは \(0\) か \(1\) になる [終]
