互いに素を用いた倍数の証明

[証明] \(k~,~l\) を自然数とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
n+1=7k~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\[3pt] n+3=5l~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~n+8&=&(n+1)+7
\\[3pt]~~~&=&7k+7
\\[3pt]~~~&=&7(k+1)~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~n+8&=&(n+3)+5
\\[3pt]~~~&=&5l+5
\\[3pt]~~~&=&5(l+1)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}={\small [\,4\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~7(k+1)&=&5(l+1)\end{eqnarray}\)

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\(7\) と \(5\) は互いに素であるので、\(k+1\) は \(5\) の倍数となる

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　（※ \(l+1\) が \(7\) の倍数でもよい。）

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よって、自然数 \(m\) を用いて、

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\(\begin{eqnarray}~~~k+1=5m\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~n+8&=&7(k+1)
\\[3pt]~~~&=&7 \cdot 5m
\\[3pt]~~~&=&35m\end{eqnarray}\)

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したがって、\(n+8\) は \(35\) の倍数となる [終]

 
 

【別解】 ※ \({\small [\,4\,]}\) の式を作るまで同じ。

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\({\small [\,3\,]}\) と \({\small [\,4\,]}\) より、\(n+8\) は \(7\) の倍数かつ \(5\) の倍数である

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\(7\) と \(5\) は互いに素であるので、\(n+8\) は \(7\) と \(5\) の最小公倍数 \(35\) の倍数となる

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したがって、\(n+8\) は \(35\) の倍数となる [終]