- 数学A｜整数の性質「合同式を用いた余りの計算と証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜合同式を用いた余りの計算と証明
整数の性質 27☆\(n\) を整数として、\(n\) を \(5\) で割った余りが \(2\) のとき、\(n^2+5n+8\) を \(5\) で割った余りを合同式を用いて求める方法は？また、\(n\) を整数として、\(n^2\) を \(3\) で割った余りが \(0\) か \(1\) であることを合同式を用いた証明方法は？
高校数学A｜整数の性質
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合同式を用いた余りの計算と証明
解法のPoint
合同式を用いた余りの計算と証明
Point：合同式を用いた余りの計算と証明合同式は、和・差・積・累乗の計算をそのまま行うことができる。
これより、\(n\equiv 2 \pmod{5}\) のとき、\(n^2+5n+8\) の \(n\) を \(2\) に置きかえて計算してよい。
① 余りの条件を合同式で表す。
\(n\) を \(5\) で割った余りが \(2\) より、
\(n\equiv 2 \pmod{5}\)
② 合同式の性質を用いて、\(n\) を余りに置きかえて計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+5n+8&\equiv& 2^2+5 \cdot 2+8 \pmod{5}\\[3pt]~~~&\equiv& 2 \pmod{5}\end{eqnarray}\)
これより、\(n\equiv 2 \pmod{5}\) のとき、\(n^2+5n+8\) の \(n\) を \(2\) に置きかえて計算してよい。
① 余りの条件を合同式で表す。
\(n\) を \(5\) で割った余りが \(2\) より、
\(n\equiv 2 \pmod{5}\)
② 合同式の性質を用いて、\(n\) を余りに置きかえて計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+5n+8&\equiv& 2^2+5 \cdot 2+8 \pmod{5}\\[3pt]~~~&\equiv& 2 \pmod{5}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜合同式を用いた余りの計算と証明
整数の性質 27☆\(n\) を整数として、\(n\) を \(5\) で割った余りが \(2\) のとき、\(n^2+5n+8\) を \(5\) で割った余りを合同式を用いて求める方法は？また、\(n\) を整数として、\(n^2\) を \(3\) で割った余りが \(0\) か \(1\) であることを合同式を用いた証明方法は？
高校数学A｜整数の性質
整数 \(n\) を \(5\) で割った余りが \(2\) より、合同式を用いると、
\(n\equiv 2 \pmod{5}\)
よって、合同式の性質より、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+5n+8&\equiv& 2^2+5 \cdot 2+8 \pmod{5}\\[3pt]~~~&\equiv& 4+10+8 \pmod{5}\\[3pt]~~~&\equiv& 22 \pmod{5}\\[3pt]~~~&\equiv& 2 \pmod{5}\end{eqnarray}\)
したがって、\(n^2+5n+8\) を \(5\) で割った余りは \(2\) となる
[証明] \(n\) を \(3\) で割った余りは \(0~,~1~,~2\) より、
\({\small [\,1\,]}\) \(n\equiv 0 \pmod{3}\) のとき、
\(n^2\equiv 0^2\equiv 0 \pmod{3}\)
これより、余り \(0\)
\({\small [\,2\,]}\) \(n\equiv 1 \pmod{3}\) のとき、
\(n^2\equiv 1^2\equiv 1 \pmod{3}\)
これより、余り \(1\)
\({\small [\,3\,]}\) \(n\equiv 2 \pmod{3}\) のとき、
\(n^2\equiv 2^2\equiv 4\equiv 1 \pmod{3}\)
これより、余り \(1\)
したがって、\(n^2\) を \(3\) で割った余りは \(0\) か \(1\) となる [終]
