- 数学A｜整数の性質「合同式とaⁿの一の位の数」の基本例題解説ページです。
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問題｜合同式とaⁿの一の位の数
整数の性質 28☆\(13^{123}\) の一の位の数を合同式を用いて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
合同式とaⁿの一の位の数
Point：合同式とaⁿの一の位の数
合同式 \(a^n\equiv l \pmod{10}\) の \(0{\small ~≦~}l\lt 10\) の \(l\) を求めればよい。
\(13\equiv 3 \pmod{10}\)
② 余りが \(1\) となるように、合同式の計算をする。
\(13^4\equiv 3^4\equiv 81\equiv 1 \pmod{10}\)
③ 合同式の性質より、\(a^n\) の余りを求める。
\(13^{123}=13^{4 \cdot 30+3}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~13^{123}&\equiv& (13^4)^{30} \cdot 13^3 \pmod{10}\\[3pt]~~~&\equiv& 1^{30} \cdot 13^3 \pmod{10}\\[3pt]~~~&\equiv& 13^3 \pmod{10}\\[3pt]~~~&\equiv& 3^3 \pmod{10}\\[3pt]~~~&\equiv& 7 \pmod{10}\end{eqnarray}\)
\(a^n\) の一の位の数は、\(a^n\) を \(10\) で割ったときの余りに等しいので、
合同式 \(a^n\equiv l \pmod{10}\) の \(0{\small ~≦~}l\lt 10\) の \(l\) を求めればよい。
① \(a\) を \(10\) で割った余りを合同式で表す。
\(13\equiv 3 \pmod{10}\)
② 余りが \(1\) となるように、合同式の計算をする。
\(13^4\equiv 3^4\equiv 81\equiv 1 \pmod{10}\)
③ 合同式の性質より、\(a^n\) の余りを求める。
\(13^{123}=13^{4 \cdot 30+3}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~13^{123}&\equiv& (13^4)^{30} \cdot 13^3 \pmod{10}\\[3pt]~~~&\equiv& 1^{30} \cdot 13^3 \pmod{10}\\[3pt]~~~&\equiv& 13^3 \pmod{10}\\[3pt]~~~&\equiv& 3^3 \pmod{10}\\[3pt]~~~&\equiv& 7 \pmod{10}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜合同式とaⁿの一の位の数
整数の性質 28☆\(13^{123}\) の一の位の数を合同式を用いて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
\(13\) を \(10\) で割った余りが \(3\) より、合同式で表すと、
\(13\equiv 3 \pmod{10}\)
両辺を \(4\) 乗すると、
\(13^4\equiv 3^4\equiv 81\equiv 1 \pmod{10}\)
よって、
\(13^4\equiv 1 \pmod{10}\)
ここで、\(13^{123}=13^{4 \cdot 30+3}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~13^{123}&\equiv& (13^4)^{30} \cdot 13^3 \pmod{10}\\[3pt]~~~&\equiv& 1^{30} \cdot 13^3 \pmod{10}\\[3pt]~~~&\equiv& 13^3 \pmod{10}\end{eqnarray}\)
さらに、\(13\equiv 3 \pmod{10}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~13^{123}&\equiv& 13^3\equiv 3^3 \pmod{10}\\[3pt]~~~&\equiv& 3^3 \pmod{10}\\[3pt]~~~&\equiv& 27 \pmod{10}\\[3pt]~~~&\equiv& 7 \pmod{10}\end{eqnarray}\)
したがって、\(13^{123}\) を \(10\) で割った余りが \(7\) であるので、\(13^{123}\) の一の位の数は \(7\) となる
