このページは、「合同式を用いた余りの計算と証明」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
合同式を用いた余りの計算と証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(n\) は整数とする。合同式を用いて、次のことを証明せよ。
\(n^4\) を \(3\) で割ったときの余りは、\(0\) か \(1\) である。
\(n^4\) を \(3\) で割ったときの余りは、\(0\) か \(1\) である。
数研出版｜数学A[104-901] p.150 発展 練習1
[証明] \(n\) を \(3\) で割った余りは \(0~,~1~,~2\) より、
\({\small [\,1\,]}\) \(n\equiv 0 \pmod{3}\) のとき、
\(n^4\equiv 0^4\equiv 0 \pmod{3}\)
これより、余り \(0\)
\({\small [\,2\,]}\) \(n\equiv 1 \pmod{3}\) のとき、
\(n^4\equiv 1^4\equiv 1 \pmod{3}\)
これより、余り \(1\)
\({\small [\,3\,]}\) \(n\equiv 2 \pmod{3}\) のとき、
\(n^4\equiv 2^4\equiv 16\equiv 1 \pmod{3}\)
これより、余り \(1\)
したがって、\(n^4\) を \(3\) で割った余りは \(0\) か \(1\) となる [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の命題を証明せよ。
\({\small (1)}~\)\(a\) を整数とするとき、\(a^2\) は \(3\) を法として \(0\) または \(1\) に合同である。
\({\small (2)}~\)整数 \(a~,~b~,~c\) が等式 \(a^2+b^2=c^2\) を満たすとき、\(a~,~b\) の少なくとも一方は \(3\) の倍数である。
\({\small (1)}~\)\(a\) を整数とするとき、\(a^2\) は \(3\) を法として \(0\) または \(1\) に合同である。
\({\small (2)}~\)整数 \(a~,~b~,~c\) が等式 \(a^2+b^2=c^2\) を満たすとき、\(a~,~b\) の少なくとも一方は \(3\) の倍数である。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.145 発展 問4
\({\small (1)}~\)
[証明] \(a\) を \(3\) で割った余りは \(0~,~1~,~2\) より、
\({\small [\,1\,]}\) \(a\equiv 0 \pmod{3}\) のとき、
\(a^2\equiv 0^2\equiv 0 \pmod{3}\)
これより、\(0\) に合同
\({\small [\,2\,]}\) \(a\equiv 1 \pmod{3}\) のとき、
\(a^2\equiv 1^2\equiv 1 \pmod{3}\)
これより、\(1\) に合同
\({\small [\,3\,]}\) \(a\equiv 2 \pmod{3}\) のとき、
\(a^2\equiv 2^2\equiv 4\equiv 1 \pmod{3}\)
これより、\(1\) に合同
したがって、\(a^2\) は \(3\) を法として \(0\) または \(1\) に合同である [終]
\({\small (2)}~\)
[証明] \(a~,~b\) がともに \(3\) の倍数でないと仮定すると、
\({\small (1)}\) より、\(a^2\) と \(b^2\) はともに \(3\) を法として \(1\) に合同であるから、
\(a^2\equiv 1~,~b^2\equiv 1 \pmod{3}\)
よって、合同式の性質より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+b^2&\equiv& 1+1 \pmod{3}\\[3pt]~~~&\equiv& 2 \pmod{3}\end{eqnarray}\)
ここで、\(a^2+b^2=c^2\) であるから、
\(c^2\equiv 2 \pmod{3}\)
\({\small (1)}\) より、\(c^2\) は \(3\) を法として \(0\) または \(1\) に合同であり、\(2\) に合同になることはない
よって、矛盾する
したがって、\(a~,~b\) の少なくとも一方は \(3\) の倍数である [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(n\) を整数とするとき、\(n^2\) を \(5\) で割った余りは、\(0~,~1~,~4\) のいずれかであることを合同式を用いて証明せよ。
東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.135 発展 問4
[証明] \(n\) を \(5\) で割った余りは \(0~,~1~,~2~,~3~,~4\) より、
\({\small [\,1\,]}\) \(n\equiv 0 \pmod{5}\) のとき、
\(n^2\equiv 0^2\equiv 0 \pmod{5}\)
これより、余り \(0\)
\({\small [\,2\,]}\) \(n\equiv 1 \pmod{5}\) のとき、
\(n^2\equiv 1^2\equiv 1 \pmod{5}\)
これより、余り \(1\)
\({\small [\,3\,]}\) \(n\equiv 2 \pmod{5}\) のとき、
\(n^2\equiv 2^2\equiv 4 \pmod{5}\)
これより、余り \(4\)
\({\small [\,4\,]}\) \(n\equiv 3 \pmod{5}\) のとき、
\(n^2\equiv 3^2\equiv 9\equiv 4 \pmod{5}\)
これより、余り \(4\)
\({\small [\,5\,]}\) \(n\equiv 4 \pmod{5}\) のとき、
\(n^2\equiv 4^2\equiv 16\equiv 1 \pmod{5}\)
これより、余り \(1\)
したがって、\(n^2\) を \(5\) で割った余りは \(0~,~1~,~4\) のいずれかとなる [終]
