- 数学A｜整数の性質「等式を満たす整数x、yの組」の基本例題解説ページです。
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問題｜等式を満たす整数x、yの組
整数の性質 06☆等式 \(xy+2x-y-6=0\) を満たす整数解をすべて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
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等式を満たす整数x、yの組
解法のPoint
等式を満たす整数x、yの組
Point：等式を満たす整数x、yの組等式を満たす整数 \(x~,~y\) の組は、
① \(x\) について式を整理し、\(y\) を使ってくくり出すために式変形する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&xy+2x-y-6=0
\\[3pt]~~~&&(y+2)x-y-6=0
\\[3pt]~~~&&(y+2)x-(y+2)-4=0
\\[3pt]~~~&&(x-1)(y+2)=4\end{eqnarray}\)
② 積が整数になる組合せを考えて、整数 \(x~,~y\) の値を求める。
これより、
① \(x\) について式を整理し、\(y\) を使ってくくり出すために式変形する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&xy+2x-y-6=0
\\[3pt]~~~&&(y+2)x-y-6=0
\\[3pt]~~~&&(y+2)x-(y+2)-4=0
\\[3pt]~~~&&(x-1)(y+2)=4\end{eqnarray}\)
② 積が整数になる組合せを考えて、整数 \(x~,~y\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x-1\\y+2\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}1\\4\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}2\\2\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}4\\1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-1\\-4\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-2\\-2\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-4\\-1\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x\\y\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}2\\2\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}3\\0\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}5\\-1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}0\\-6\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-1\\-4\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-3\\-3\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
※ 組合せを考えるときは、縦書きで書くと見やすい。
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詳しい解説｜等式を満たす整数x、yの組
整数の性質 06☆等式 \(xy+2x-y-6=0\) を満たす整数解をすべて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
原式を \(x\) について整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&xy+2x-y-6=0
\\[3pt]~~~&&(y+2)x-y-6=0\end{eqnarray}\)
\(y+2\) でくくり出すために \(-y-6\) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(y+2)x-(y+6)=0
\\[3pt]~~~&&(y+2)x-(y+2+4)=0
\\[3pt]~~~&&(y+2)x-(y+2)-4=0
\\[3pt]~~~&&(x-1)(y+2)=4\end{eqnarray}\)
\(x~,~y\) が整数より、\(x-1~,~y+2\) も整数となり、積が \(4\) となる組合せは、\(x-1\) と \(y+2\) が \(4\) の約数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x-1\\y+2\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}1\\4\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}2\\2\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}4\\1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-1\\-4\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-2\\-2\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-4\\-1\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
※ 上の段に \(+1\) して \(x\) の値とし、下の段に \(-2\) して \(y\) の値とする。
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x\\y\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}2\\2\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}3\\0\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}5\\-1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}0\\-6\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-1\\-4\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-3\\-3\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\((x~,~y)\) の組は、
\((2~,~2)~,~(3~,~0)~,~(5~,~-1)~,~\)
\((0~,~-6)~,~(-1~,~-4)~,~(-3~,~-3)\)
となる
