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問題｜2つの分数を自然数にする分数
整数の性質 19☆\(2\) つの分数 \(\displaystyle \frac{\,35\,}{\,6\,}\) 、\(\displaystyle \frac{\,49\,}{\,15\,}\) のどちらに掛けても積が自然数となるような最小の分数の求め方は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
2つの分数を自然数にする分数
Point：2つの分数を自然数にする分数
① 互いに素の \(2\) つの自然数 \(a\) 、\(b\) を用いて、これらの分数を \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) とする。
② 分子 \(a\) は、\(6\) と \(15\) の公倍数であり、この分数を最小にするのが最小公倍数より、\(a\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~6&=&2 \cdot 3
\\~~~15&=&3 \cdot 5\\[3pt]
\hline a&=&2 \cdot 3 \cdot 5=30\end{eqnarray}\)
③ 分母 \(b\) は、\(35\) と \(49\) の公約数であり、この分数を最小にするのが最大公約数より、\(b\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~35&=&5 \cdot 7
\\~~~49&=&7^2\\[3pt]
\hline b&=&7\end{eqnarray}\)
よって、この分数は \(\displaystyle \frac{\,30\,}{\,7\,}\)
\(2\) つの分数 \(\displaystyle \frac{\,35\,}{\,6\,}\) 、\(\displaystyle \frac{\,49\,}{\,15\,}\) のどちらに掛けても積が自然数となる最小の分数は、
① 互いに素の \(2\) つの自然数 \(a\) 、\(b\) を用いて、これらの分数を \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) とする。
② 分子 \(a\) は、\(6\) と \(15\) の公倍数であり、この分数を最小にするのが最小公倍数より、\(a\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~6&=&2 \cdot 3
\\~~~15&=&3 \cdot 5\\[3pt]
\hline a&=&2 \cdot 3 \cdot 5=30\end{eqnarray}\)
③ 分母 \(b\) は、\(35\) と \(49\) の公約数であり、この分数を最小にするのが最大公約数より、\(b\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~35&=&5 \cdot 7
\\~~~49&=&7^2\\[3pt]
\hline b&=&7\end{eqnarray}\)
よって、この分数は \(\displaystyle \frac{\,30\,}{\,7\,}\)
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詳しい解説｜2つの分数を自然数にする分数
整数の性質 19☆\(2\) つの分数 \(\displaystyle \frac{\,35\,}{\,6\,}\) 、\(\displaystyle \frac{\,49\,}{\,15\,}\) のどちらに掛けても積が自然数となるような最小の分数の求め方は？
高校数学A｜整数の性質
この分数を \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\)（ \(a\) と \(b\) は互いに素の自然数 ）とすると、
\(\displaystyle \frac{\,35\,}{\,6\,} \times \displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) が自然数、かつ \(\displaystyle \frac{\,49\,}{\,15\,} \times \displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) が自然数より、
\(a\) は \(6\) の倍数かつ \(15\) の倍数より、\(6\) と \(15\) の最小公倍数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~6&=&2 \cdot 3
\\~~~15&=&3 \cdot 5\\[3pt]
\hline a&=&2 \cdot 3 \cdot 5=30\end{eqnarray}\)
\(b\) は \(35\) の約数かつ \(49\) の約数より、\(35\) と \(49\) の最大公約数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~35&=&5 \cdot 7
\\~~~49&=&7^2\\[3pt]
\hline b&=&7\end{eqnarray}\)
したがって、この分数は \(\displaystyle \frac{\,30\,}{\,7\,}\) となる
