- 数学A｜整数の性質「割り算と余りの性質とaⁿの余り」の基本例題解説ページです。
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問題｜割り算と余りの性質とaⁿの余り
整数の性質 24☆\(7^{100}\) を \(3\) で割ったときの余りの求め方は？また、\(7^{100}\) を \(8\) で割ったときの余りの求め方は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
割り算と余りの性質とaⁿの余り
Point：割り算と余りの性質とaⁿの余り
① \(7\) を \(3\) で割った余りを求める。
\(7=3 \cdot 2+1\) 余り \(1\)
② \(7^{100}\) を \(3\) で割った余りは、\(7\) を \(3\) で割った余りの \(100\) 乗を \(3\) で割った余りに等しい。
\(7=3 \cdot 2+1\) 余り \(1\)
\(1^{100}=3 \cdot 0+1\) 余り \(1\)
これより、余りは \(1\) となる。
\(7^{100}\) を \(3\) で割った余りは、
① \(7\) を \(3\) で割った余りを求める。
\(7=3 \cdot 2+1\) 余り \(1\)
② \(7^{100}\) を \(3\) で割った余りは、\(7\) を \(3\) で割った余りの \(100\) 乗を \(3\) で割った余りに等しい。
\(7=3 \cdot 2+1\) 余り \(1\)
\(1^{100}=3 \cdot 0+1\) 余り \(1\)
これより、余りは \(1\) となる。
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詳しい解説｜割り算と余りの性質とaⁿの余り
整数の性質 24☆\(7^{100}\) を \(3\) で割ったときの余りの求め方は？また、\(7^{100}\) を \(8\) で割ったときの余りの求め方は？
高校数学A｜整数の性質
\(7\) を \(3\) で割った余りは、
\(7=3 \cdot 2+1\) 余り \(1\)
よって、\(7^{100}\) を \(3\) で割った余りは、\(7\) を \(3\) で割った余り \(1\) の \(100\) 乗の \(1^{100}\) を \(3\) で割った余りに等しいので、
\(1^{100}=3 \cdot 0+1\) 余り \(1\)
したがって、余りは \(1\) となる
\(7^2=49\) を \(8\) で割った余りは、
\(49=8{\, \small \times \,}6+1\) 余り \(1\)
よって、\(7^{100}\) を \(8\) で割った余りは、
\(7^{100}=(7^2)^{50}=49^{50}\)
\(49\) を \(8\) で割った余り \(1\) の \(50\) 乗の \(1^{50}\) を \(8\) で割った余りに等しいので、
\(1^{50}=8 \cdot 0+1\) 余り \(1\)
したがって、余りは \(1\) となる
