- 数学A｜整数の性質「商と余りの式を用いた余りの計算」の基本例題解説ページです。
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問題｜商と余りの式を用いた余りの計算
整数の性質 21\(2\) つの整数 \(a~,~b\) について、\(a\) を \(5\) で割ると \(2\) 余り、\(b\) を \(5\) で割ると \(3\) 余るとき、\(a+b\) や \(a-b\) や \(ab\) を \(5\) で割った余りの求め方は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
商と余りの式を用いた余りの計算
Point：商と余りの式を用いた余りの計算
① \(2\) つの整数 \(a~,~b\) の商と余りの式を考える。
\(k~,~l\) を整数として、
\(a=5k+2~,~b=5l+3\)
② \(a+b\) などの式を \(k\) と \(l\) の式で表し、\(5\) で割ったときの余りを求める。
\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&(5k+2)+(5l+3)\\[3pt]~~~&=&5(k+l+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(a+b\) を \(5\) で割った余りは \(0\)
\(2\) つの整数 \(a~,~b\) の商と余りの式を用いて、\(a+b\) などの余りの式の求め方は、
① \(2\) つの整数 \(a~,~b\) の商と余りの式を考える。
\(k~,~l\) を整数として、
\(a=5k+2~,~b=5l+3\)
② \(a+b\) などの式を \(k\) と \(l\) の式で表し、\(5\) で割ったときの余りを求める。
\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&(5k+2)+(5l+3)\\[3pt]~~~&=&5(k+l+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(a+b\) を \(5\) で割った余りは \(0\)
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詳しい解説｜商と余りの式を用いた余りの計算
整数の性質 21\(2\) つの整数 \(a~,~b\) について、\(a\) を \(5\) で割ると \(2\) 余り、\(b\) を \(5\) で割ると \(3\) 余るとき、\(a+b\) や \(a-b\) や \(ab\) を \(5\) で割った余りの求め方は？
高校数学A｜整数の性質
整数 \(a\) の \(5\) で割った余りが \(2\) 、商を \(k\)（\(k\) は整数）とすると、
\(a=5k+2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
整数 \(b\) の \(5\) で割った余りが \(3\) 、商を \(l\)（\(l\) は整数）とすると、
\(b=5l+3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
これより、\(a+b\) は \({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&(5k+2)+(5l+3)\\[3pt]~~~&=&5k+5l+5\\[3pt]~~~&=&5(k+l+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(a+b\) を \(5\) で割った余りは \(0\) となる
次に、\(a-b\) は \({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a-b&=&(5k+2)-(5l+3)\\[3pt]~~~&=&5k-5l-1\\[3pt]~~~&=&5k-5l-5+4\\[3pt]~~~&=&5(k-l-1)+4\end{eqnarray}\)
※ \(-1\) を \(5\) で割ると商 \(-1\)、余り \(4\) を用いる。
よって、\(a-b\) を \(5\) で割った余りは \(4\) となる
次に、\(ab\) は \({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~ab&=&(5k+2)(5l+3)\\[3pt]~~~&=&25kl+15k+10l+6\\[3pt]~~~&=&25kl+15k+10l+5+1\\[3pt]~~~&=&5(5kl+3k+2l+1)+1\end{eqnarray}\)
よって、\(ab\) を \(5\) で割った余りは \(1\) となる
