- 数学A｜整数の性質「素因数分解と正の約数」の基本例題解説ページです。
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問題｜素因数分解と正の約数
整数の性質 10\(40~,~\)\(126\) の正の約数を素因数分解を用いてすべて求める方法は？また、正の約数の個数とその総和の求め方は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
素因数分解と正の約数
Point：素因数分解と正の約数
① 与えられた数を素因数分解する。
\(40=2^3 \cdot 5\)
よって、\(40\) は素因数 \(2\) を \(3\) 個、素因数 \(5\) を \(1\) 個もつ。
② 素因数の積の組合せより、正の約数を求める。
\(\begin{array}{c|cccc}& 2^0 & 2^1 & 2^2 & 2^3 \\\hline ~5^0~ & 1 & 2 & 4 & 8 \\ ~5^1~ & 5 & 10 & 20 & 40\end{array}\)
このマスの数より、\(40\) の約数は、
\(1~,~2~,~4~,~5~,~8~,~10~,~20~,~40\)
また、正の約数の個数はマスの数だけあるので、
\((3+1){\, \small \times \,}(1+1)=4{\, \small \times \,}2=8\) 個
③ 正の約数の総和は、展開式が約数と等しくなることより求める。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(2^0+2^1+2^2+2^3)(5^0+5^1)\\[3pt]~~~&=&(1+2+4+8)(1+5)\\[3pt]~~~&=&15 \cdot 6\\[3pt]~~~&=&90\end{eqnarray}\)
正の約数とその個数・総和は、
① 与えられた数を素因数分解する。
\(40=2^3 \cdot 5\)
よって、\(40\) は素因数 \(2\) を \(3\) 個、素因数 \(5\) を \(1\) 個もつ。
② 素因数の積の組合せより、正の約数を求める。
\(\begin{array}{c|cccc}& 2^0 & 2^1 & 2^2 & 2^3 \\\hline ~5^0~ & 1 & 2 & 4 & 8 \\ ~5^1~ & 5 & 10 & 20 & 40\end{array}\)
このマスの数より、\(40\) の約数は、
\(1~,~2~,~4~,~5~,~8~,~10~,~20~,~40\)
また、正の約数の個数はマスの数だけあるので、
\((3+1){\, \small \times \,}(1+1)=4{\, \small \times \,}2=8\) 個
③ 正の約数の総和は、展開式が約数と等しくなることより求める。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(2^0+2^1+2^2+2^3)(5^0+5^1)\\[3pt]~~~&=&(1+2+4+8)(1+5)\\[3pt]~~~&=&15 \cdot 6\\[3pt]~~~&=&90\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜素因数分解と正の約数
整数の性質 10\(40~,~\)\(126\) の正の約数を素因数分解を用いてすべて求める方法は？また、正の約数の個数とその総和の求め方は？
高校数学A｜整数の性質
\(40\) を素因数分解すると、
\(\begin{array}{rr}2~)~~40~\\[-3pt]2~)\overline{~~20~}\\[-3pt]2~)\overline{~~10~}\\[-3pt]\overline{~~~5~~}\end{array}\)
\(40=2^3 \cdot 5\)
よって、正の約数は、\(2^0~\sim~2^3\) と \(5^0~\sim~5^1\) の積の組合せより、
\(\begin{array}{c|cccc}& 2^0 & 2^1 & 2^2 & 2^3 \\\hline ~5^0~ & 1 & 2 & 4 & 8 \\ ~5^1~ & 5 & 10 & 20 & 40\end{array}\)
ここで、表のマスの数がそれぞれの約数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2^0 \cdot 5^0&=&1\\[3pt]~~~2^1 \cdot 5^0&=&2\\[3pt]~~~2^2 \cdot 5^0&=&4\\[3pt]~~~2^3 \cdot 5^0&=&8\\[3pt]~~~2^0 \cdot 5^1&=&5\\[3pt]~~~2^1 \cdot 5^1&=&10\\[3pt]~~~2^2 \cdot 5^1&=&20\\[3pt]~~~2^3 \cdot 5^1&=&40\end{eqnarray}\)
したがって、\(40\) の約数は、
\(1~,~2~,~4~,~5~,~8~,~10~,~20~,~40\) となる
また、\(40\) の正の約数の個数は、表のマスの数だけあるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(3+1){\, \small \times \,}(1+1)\\[3pt]~~~&=&4{\, \small \times \,}2\\[3pt]~~~&=&8\end{eqnarray}\)
したがって、正の約数の個数は \(8\) 個となる
さらに、\(40\) の正の約数の総和は、表のマスの数すべての和であり、次の展開式と等しくなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(2^0+2^1+2^2+2^3)(5^0+5^1)\\[3pt]~~~&=&(1+2+4+8)(1+5)\\[3pt]~~~&=&15 \cdot 6\\[3pt]~~~&=&90\end{eqnarray}\)
したがって、正の約数の総和は \(90\) となる
\(126\) を素因数分解すると、
\(\begin{array}{rr}2~)~~126~\\[-3pt]3~)\overline{~~63~}\\[-3pt]3~)\overline{~~21~}\\[-3pt]\overline{~~~7~~}\end{array}\)
\(126=2 \cdot 3^2 \cdot 7\)
よって、正の約数は、\(2^0~\sim~2^1\) と \(3^0~\sim~3^2\) と \(7^0~\sim~7^1\) の積の組合せより、
\(\begin{eqnarray}~~~2^0 \cdot 3^0 \cdot 7^0&=&1\\[3pt]~~~2^1 \cdot 3^0 \cdot 7^0&=&2\\[3pt]~~~2^0 \cdot 3^1 \cdot 7^0&=&3\\[3pt]~~~2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^0&=&6\\[3pt]~~~2^0 \cdot 3^2 \cdot 7^0&=&9\\[3pt]~~~2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^0&=&18\\[3pt]~~~2^0 \cdot 3^0 \cdot 7^1&=&7\\[3pt]~~~2^1 \cdot 3^0 \cdot 7^1&=&14\\[3pt]~~~2^0 \cdot 3^1 \cdot 7^1&=&21\\[3pt]~~~2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1&=&42\\[3pt]~~~2^0 \cdot 3^2 \cdot 7^1&=&63\\[3pt]~~~2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1&=&126\end{eqnarray}\)
したがって、\(126\) の約数は、
\(1~,~2~,~3~,~6~,~7~,~9~,~14~,~\)
\(18~,~21~,~42~,~63~,~126\) となる
また、\(126\) の正の約数の個数は、それぞれの素因数の指数に \(1\) を加えた数の積なので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+1){\, \small \times \,}(2+1){\, \small \times \,}(1+1)\\[3pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}2\\[3pt]~~~&=&12\end{eqnarray}\)
したがって、正の約数の個数は \(12\) 個となる
さらに、\(126\) の正の約数の総和は、次の展開式と等しくなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(2^0+2^1)(3^0+3^1+3^2)(7^0+7^1)\\[3pt]~~~&=&(1+2)(1+3+9)(1+7)\\[3pt]~~~&=&3 \cdot 13 \cdot 8\\[3pt]~~~&=&312\end{eqnarray}\)
したがって、正の約数の総和は \(312\) となる
