- 数学A｜整数の性質「平方根の値が自然数となる条件」の基本例題解説ページです。
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問題｜平方根の値が自然数となる条件
整数の性質 09\(\sqrt{\,120n\,}\) が自然数となるような最小の自然数 \(n\) の求め方は？また、\(\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,72\,}{\,n\,}\,}\) が自然数となるような最小の自然数 \(n\) の求め方は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
平方根の値が自然数となる条件
Point：平方根の値が自然数となる条件
① \(n\) の係数部分の \(120\) を素因数分解する。
\(\sqrt{\,120n\,}=\sqrt{\,2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot n\,}\)
② 平方根の中が自然数の \(2\) 乗となるような、最小の自然数 \(n\) を求める。
\(2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot n=2^2 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot n)\)
これより、\(n=2 \cdot 3 \cdot 5=30\)
平方根の値 \(\sqrt{\,120n\,}\) が自然数となる条件は、
① \(n\) の係数部分の \(120\) を素因数分解する。
\(\sqrt{\,120n\,}=\sqrt{\,2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot n\,}\)
② 平方根の中が自然数の \(2\) 乗となるような、最小の自然数 \(n\) を求める。
\(2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot n=2^2 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot n)\)
これより、\(n=2 \cdot 3 \cdot 5=30\)
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詳しい解説｜平方根の値が自然数となる条件
整数の性質 09\(\sqrt{\,120n\,}\) が自然数となるような最小の自然数 \(n\) の求め方は？また、\(\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,72\,}{\,n\,}\,}\) が自然数となるような最小の自然数 \(n\) の求め方は？
高校数学A｜整数の性質
\(120\) を素因数分解すると、
\(\begin{array}{rr}2~)~~120~\\[-3pt]2~)\overline{~~60~}\\[-3pt]2~)\overline{~~30~}\\[-3pt]3~)\overline{~~15~}\\[-3pt]\overline{~~~5~~}\end{array}\)
\(120=2^3 \cdot 3 \cdot 5\)
ここで、\(\sqrt{\,120n\,}\) が自然数となるには、\(120n\) が自然数の \(2\) 乗となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~120n&=&2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot n\\[3pt]~~~&=&2^2 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot n)\end{eqnarray}\)
これより、\(2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot n\) が自然数の \(2\) 乗となる最小の自然数 \(n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&2 \cdot 3 \cdot 5\\[3pt]~~~&=&30\end{eqnarray}\)
したがって、\(n=30\) となる
\(72\) を素因数分解すると、
\(\begin{array}{rr}2~)~~72~\\[-3pt]2~)\overline{~~36~}\\[-3pt]2~)\overline{~~18~}\\[-3pt]3~)\overline{~~~9~~}\\[-3pt]\overline{~~~3~~}\end{array}\)
\(72=2^3 \cdot 3^2\)
ここで、\(\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,72\,}{\,n\,}\,}\) が自然数となるには、\(\displaystyle \frac{\,72\,}{\,n\,}\) が自然数の \(2\) 乗となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,72\,}{\,n\,}&=&\displaystyle \frac{\,2^3 \cdot 3^2\,}{\,n\,}\\[5pt]~~~&=&(2 \cdot 3)^2 \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,n\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,n\,}\) が自然数の \(2\) 乗となる最小の自然数 \(n\) は、
\(n=2\)
したがって、\(n=2\) となる
