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問題｜倍数と約数の個数の条件と自然数
整数の性質 11☆\(12\) の倍数で正の約数の個数が \(15\) 個の自然数 \(n\) をすべて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
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倍数と約数の個数の条件と自然数
解法のPoint
倍数と約数の個数の条件と自然数
Point：倍数と約数の個数の条件と自然数倍数の条件と約数の個数の条件の自然数の求め方は、
① 正の約数の個数の条件より、自然数 \(n\) を素因数の積の形で表す。
正の約数の個数が \(15\) 個より、
素因数 \(p~,~q\) を用いて、
\(p^{14}\) または \(p^2 \cdot q^4\)
② 倍数の条件を用いて、\(p~,~q\) の組合せを考え、自然数 \(n\) の値を求める。
\(n\) は \(12\) の倍数より、\(n=2^2 \cdot 3 \cdot k\)
よって、\(n=2^2 \cdot 3^4\) または \(n=3^2 \cdot 2^4\)
① 正の約数の個数の条件より、自然数 \(n\) を素因数の積の形で表す。
正の約数の個数が \(15\) 個より、
素因数 \(p~,~q\) を用いて、
\(p^{14}\) または \(p^2 \cdot q^4\)
② 倍数の条件を用いて、\(p~,~q\) の組合せを考え、自然数 \(n\) の値を求める。
\(n\) は \(12\) の倍数より、\(n=2^2 \cdot 3 \cdot k\)
よって、\(n=2^2 \cdot 3^4\) または \(n=3^2 \cdot 2^4\)
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詳しい解説｜倍数と約数の個数の条件と自然数
整数の性質 11☆\(12\) の倍数で正の約数の個数が \(15\) 個の自然数 \(n\) をすべて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
正の約数の個数が \(15\) 個より、
\(15=1 \cdot 15=3 \cdot 5\)
これより、自然数 \(n\) は素因数 \(p~,~q\) を用いて、
\(p^{14}\) または \(p^2 \cdot q^4\)
と表される
ここで、\(n\) は \(12\) の倍数より、\(k\) を自然数として、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&12k\\[3pt]~~~&=&2^2 \cdot 3 \cdot k\end{eqnarray}\)
\(n=p^{14}\) のときは、素因数が \(1\) 種類しかないため \(12\) の倍数にならないので不適となる
よって、\(n=p^2 \cdot q^4\) と表されるので、
\({\small [\,1\,]}~p=2~,~q=3\) のとき、
\(k=3^3\) となり、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&2^2 \cdot 3^4\\[3pt]~~~&=&4 \cdot 81\\[3pt]~~~&=&324\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~p=3~,~q=2\) のとき、
\(k=2^2 \cdot 3^1\) となり、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&3^2 \cdot 2^4\\[3pt]~~~&=&9 \cdot 16\\[3pt]~~~&=&144\end{eqnarray}\)
したがって、\(n=144~,~324\) となる
