- 数学A｜整数の性質「自然数nとの最小公倍数の条件」の基本例題解説ページです。
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問題｜自然数nとの最小公倍数の条件
整数の性質 15☆\(36\) と自然数 \(n\) との最小公倍数が \(360\) のとき、整数 \(n\) の値をすべて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
自然数nとの最小公倍数の条件
Point：自然数nとの最小公倍数の条件
① 一方の数 \(36\) と最小公倍数 \(360\) をそれぞれ素因数分解する。
\(\begin{eqnarray}~~~36&=&2^2 \cdot 3^2
\\[3pt]~~~360&=&2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1\end{eqnarray}\)
② 最小公倍数が、共通の素因数の指数が大きい方をとってできることより、\(n=2^a \cdot 3^b \cdot 5^c\) の \(a\) 、\(b\) 、\(c\) の値を考える。
\(\begin{eqnarray}~~~36&=&2^2 \cdot 3^2
\\[3pt]~~~n&=&2^a \cdot 3^b \cdot 5^c
\\[3pt]\hline ~~~360&=&2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1
\end{eqnarray}\)
\(a=3~,~c=1\) かつ \(b=0~,~1~,~2\)
\(36\) と自然数 \(n\) の最小公倍数の条件は、
① 一方の数 \(36\) と最小公倍数 \(360\) をそれぞれ素因数分解する。
\(\begin{eqnarray}~~~36&=&2^2 \cdot 3^2
\\[3pt]~~~360&=&2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1\end{eqnarray}\)
② 最小公倍数が、共通の素因数の指数が大きい方をとってできることより、\(n=2^a \cdot 3^b \cdot 5^c\) の \(a\) 、\(b\) 、\(c\) の値を考える。
\(\begin{eqnarray}~~~36&=&2^2 \cdot 3^2
\\[3pt]~~~n&=&2^a \cdot 3^b \cdot 5^c
\\[3pt]\hline ~~~360&=&2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1
\end{eqnarray}\)
\(a=3~,~c=1\) かつ \(b=0~,~1~,~2\)
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詳しい解説｜自然数nとの最小公倍数の条件
整数の性質 15☆\(36\) と自然数 \(n\) との最小公倍数が \(360\) のとき、整数 \(n\) の値をすべて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
\(36\) を素因数分解すると、
\(\begin{array}{rr}2~)~~36~\\[-3pt]2~)\overline{~~18~}\\[-3pt]3~)\overline{~~~9~~}\\[-3pt]\overline{~~~3~~}\end{array}\)
よって、\(36=2^2 \cdot 3^2\)
\(360\) を素因数分解すると、
\(\begin{array}{rr}2~)~~360~\\[-3pt]2~)\overline{~~180~}\\[-3pt]2~)\overline{~~~90~~}\\[-3pt]3~)\overline{~~~45~~}\\[-3pt]3~)\overline{~~~15~~}\\[-3pt]\overline{~~~~5~~~}\end{array}\)
よって、\(360=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~36&=&2^2 \cdot 3^2
\\[3pt]~~~n&=&2^a \cdot 3^b \cdot 5^c
\\[3pt]\hline ~~~360&=&2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1
\end{eqnarray}\)
最小公倍数は、共通な素因数の指数が大きい方をとるので、
\(a=3~,~c=1\) となり、\(b=0~,~1~,~2\) のいずれかとなる
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&2^3 \cdot 3^0 \cdot 5^1=8 \cdot 1 \cdot 5=40
\\[3pt]~~~n&=&2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1=8 \cdot 3 \cdot 5=120
\\[3pt]~~~n&=&2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1=8 \cdot 9 \cdot 5=360\end{eqnarray}\)
したがって、\(n=40~,~120~,~360\) となる
