- 数学A｜整数の性質「絞り込みが必要な方程式の整数解」の基本例題解説ページです。
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問題｜絞り込みが必要な方程式の整数解
整数の性質 41★等式 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}=1~,~\)\(x \lt y \lt z\) を満たす自然数 \(x~,~y~,~z\) の組の求め方は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
絞り込みが必要な方程式の整数解
Point：絞り込みが必要な方程式の整数解
① すべて \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) に置き換えた式を用いて、\(x\) の値の範囲をしぼり込む。
\(x \lt y \lt z\) より \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,} \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,} \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&\lt&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~1&\lt&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(x \lt 3\) より、\(x=1~,~2\)
② \(x\) の値を代入して、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}\) に置き換えた式を用いて、\(y\) の値をしぼり込む。
\(x=2\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&\lt&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&\lt&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
\(x \lt y \lt 4\) より、\(y=3\)
③ \(z\) の値を求め、\(y \lt z\) を満たすことを確認する。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}=1\) を満たす自然数 \(x~,~y~,~z\) の値は、
① すべて \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) に置き換えた式を用いて、\(x\) の値の範囲をしぼり込む。
\(x \lt y \lt z\) より \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,} \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,} \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&\lt&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~1&\lt&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(x \lt 3\) より、\(x=1~,~2\)
② \(x\) の値を代入して、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}\) に置き換えた式を用いて、\(y\) の値をしぼり込む。
\(x=2\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&\lt&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&\lt&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
\(x \lt y \lt 4\) より、\(y=3\)
③ \(z\) の値を求め、\(y \lt z\) を満たすことを確認する。
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詳しい解説｜絞り込みが必要な方程式の整数解
整数の性質 41★等式 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}=1~,~\)\(x \lt y \lt z\) を満たす自然数 \(x~,~y~,~z\) の組の求め方は？
高校数学A｜整数の性質
\(x \lt y \lt z\) より
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,} \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,} \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\)
これより、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,} \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\)
※ 全部 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) にした方が大きくなる。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,} \lt \displaystyle \frac{\,3\,}{\,x\,}\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~1 &\lt& \displaystyle \frac{\,3\,}{\,x\,}\\[5pt]~~~1{\, \small \times \,}x &\lt& \displaystyle \frac{\,3\,}{\,x\,}{\, \small \times \,}x\\[5pt]~~~x &\lt& 3\end{eqnarray}\)
\(x\) は自然数より、\(x=1~,~2\)
\({\rm [\,1\,]}\) \(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&1\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&0\end{eqnarray}\)
\(y~,~z\) は自然数なので、これを満たす \(y~,~z\) の組はない
\({\rm [\,2\,]}\) \(x=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&1\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,} \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}\)
※ どちらも \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}\) の方が大きくなる。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,} \lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,y\,}\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} &\lt& \displaystyle \frac{\,2\,}{\,y\,}\\[5pt]~~~y &\lt& 4\end{eqnarray}\)
\(y\) は自然数かつ \(x=2\) より \(y \gt 2\)
したがって、\(y=3\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&\displaystyle \frac{\,3-2\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~z&=&6\end{eqnarray}\)
これは \(y \lt z\) を満たす
したがって、この等式を満たす自然数の組は \((x~,~y~,~z)=(2~,~3~,~6)\) となる
