- 数学A｜整数の性質「n進法の数列」の基本例題解説ページです。
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問題｜n進法の数列
整数の性質 40☆\(3\) 種類の数字 \(0~,~1~,~2\) を用いて表される自然数を小さい順に並べる \(\,1~,~\)\(2~,~\)\(10~,~\)\(11~,~\)\(12~,~\)\(20~,~\)\(21~,~\)\(22~,~\)\(100~,~\cdots\,\) とき、\(100\) 番目の数の求め方は？また、\(1212\) は何番目かの求め方は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
n進法の数列
Point：n進法の数列\(n\) 進法で表された数列は、
① 整数の数列に何進法で表したものかを調べる。
\(\begin{array}{cccccccc}10進法 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \cdots\\[3pt]3進法 & 1 & 2 & 10 & 11 & 12 & 20 & \cdots\end{array}\)
② \(100\) 番目の数は \(100\) を \(3\) 進法で表せばよい。
\(100=10201_{(3)}\)
よって、\(100\) 番目は \(10201\)
③ 何番目の数かは、その数を \(10\) 進法で表せばよい。
\(1212_{(3)}=50\)
よって、\(1212\) は \(50\) 番目の数
① 整数の数列に何進法で表したものかを調べる。
\(\begin{array}{cccccccc}10進法 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \cdots\\[3pt]3進法 & 1 & 2 & 10 & 11 & 12 & 20 & \cdots\end{array}\)
② \(100\) 番目の数は \(100\) を \(3\) 進法で表せばよい。
\(100=10201_{(3)}\)
よって、\(100\) 番目は \(10201\)
③ 何番目の数かは、その数を \(10\) 進法で表せばよい。
\(1212_{(3)}=50\)
よって、\(1212\) は \(50\) 番目の数
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詳しい解説｜n進法の数列
整数の性質 40☆\(3\) 種類の数字 \(0~,~1~,~2\) を用いて表される自然数を小さい順に並べる \(\,1~,~\)\(2~,~\)\(10~,~\)\(11~,~\)\(12~,~\)\(20~,~\)\(21~,~\)\(22~,~\)\(100~,~\cdots\,\) とき、\(100\) 番目の数の求め方は？また、\(1212\) は何番目かの求め方は？
高校数学A｜整数の性質
この数列は、整数の数列 \(1~,~2~,~3~,~4~,~\cdots\) を \(3\) 進法で表したものと等しくなる
\(\begin{array}{cccccccc}10進法 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \cdots\\[3pt]3進法 & 1 & 2 & 10 & 11 & 12 & 20 & \cdots\end{array}\)
よって、\(100\) 番目の数は、\(10\) 進法の \(100\) を \(3\) 進法で表せばよいので、
\(\begin{array}{rr}3~)~100~\\[-3pt]3~)\overline{~~33~}&\cdots~1\\[-3pt]3~)\overline{~~11~}&\cdots~0\\[-3pt]3~)\overline{~~~3~~}&\cdots~2\\[-3pt]3~)\overline{~~~1~~}&\cdots~0\\[-3pt]\overline{~~~0~~}&\cdots~1\end{array}\)
したがって、\(100\) 番目の数は \(10201\) となる
次に、\(1212_{(3)}\) を \(10\) 進法で表すと、\(3^0\) の位から \(3^3\) の位まで並べると、
\(\begin{array}{cccc}千 & 百 & 十 & 一\\[3pt]\hline 1 & 2 & 1 & 2\\[1pt]3^3 & 3^2 & 3^1 & 3^0\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1 \cdot 3^3+2 \cdot 3^2+1 \cdot 3^1+2 \cdot 3^0\\[3pt]~~~&=&27+18+3+2\\[3pt]~~~&=&50\end{eqnarray}\)
したがって、\(1212\) は \(50\) 番目の数となる
