このページは、「n進法の数列」の練習問題アーカイブページとなります。
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n進法の数列 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(4\) 種類の数字 \(0~,~1~,~2~,~3\) を用いて表される自然数を、次のように小さい方から順に並べる。
\({\small (1)}~\) \(210\) 番目の数をいえ。
\({\small (2)}~\) \(210\) は何番目の数か。
\(1~,~2~,~3~,~10~,~11~,~12~,~13~,~20~,~21~,~22~,~\cdots\cdots\)
\({\small (1)}~\) \(210\) 番目の数をいえ。
\({\small (2)}~\) \(210\) は何番目の数か。
数研出版｜数学A[104-901] p.184 演習問題A 9
この数列は、整数の数列 \(1~,~2~,~3~,~4~,~\cdots\) を \(4\) 進法で表したものと等しくなる
\(\begin{array}{cccccccc}10進法 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \cdots\\[3pt]4進法 & 1 & 2 & 3 & 10 & 11 & 12 & \cdots\end{array}\)
よって、\(210\) 番目の数は、\(10\) 進法の \(210\) を \(4\) 進法で表せばよいので、
\(\begin{array}{rr}4~)~210~\\[-3pt]4~)\overline{~~52~}&\cdots~2\\[-3pt]4~)\overline{~~13~}&\cdots~0\\[-3pt]4~)\overline{~~~3~~}&\cdots~1\\[-3pt]\overline{~~~0~~}&\cdots~3\end{array}\)
したがって、\(210\) 番目の数は \(3102\) となる
次に、\(210_{(4)}\) を \(10\) 進法で表すと、\(4^0\) の位から \(4^2\) の位まで並べると、
\(\begin{array}{ccc}百 & 十 & 一\\[3pt]\hline 2 & 1 & 0\\[1pt]4^2 & 4^1 & 4^0\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2 \cdot 4^2+1 \cdot 4^1+0 \cdot 4^0\\[3pt]~~~&=&32+4+0\\[3pt]~~~&=&36\end{eqnarray}\)
したがって、\(210\) は \(36\) 番目の数となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02正の整数を \(8\) 進法で表し、次のように左から小さい順に並べる。
このとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) \(700\) 番目の数を \(8\) 進法で表された数で表せ。
\({\small (2)}~\) \(8\) 進法で表すと \(4\) 桁になる最小の数を \(2\) 進法で表したときの桁数を求めよ。
\(1_{(8)}~,~2_{(8)}~,~3_{(8)}~,~\cdots\cdots~,~7_{(8)}~,~10_{(8)}~,~11_{(8)}~,~\cdots\cdots~,~17_{(8)}~,~20_{(8)}~,~21_{(8)}~,~\cdots\cdots\)
このとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) \(700\) 番目の数を \(8\) 進法で表された数で表せ。
\({\small (2)}~\) \(8\) 進法で表すと \(4\) 桁になる最小の数を \(2\) 進法で表したときの桁数を求めよ。
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.158 問題 15
この数列は、整数の数列 \(1~,~2~,~3~,~4~,~\cdots\) を \(8\) 進法で表したものと等しくなる
\(\begin{array}{cccccccccc}10進法 & 1 & 2 & \cdots & 7 & 8 & 9 & \cdots\\[3pt]8進法 & 1 & 2 & \cdots & 7 & 10 & 11 & \cdots\end{array}\)
よって、\(700\) 番目の数は、\(10\) 進法の \(700\) を \(8\) 進法で表せばよいので、
\(\begin{array}{rr}8~)~700~\\[-3pt]8~)\overline{~~87~}&\cdots~4\\[-3pt]8~)\overline{~~10~}&\cdots~7\\[-3pt]8~)\overline{~~~1~~}&\cdots~2\\[-3pt]\overline{~~~0~~}&\cdots~1\end{array}\)
したがって、\(700\) 番目の数は \(1274\) となる
次に、\(8\) 進法で表すと \(4\) 桁になる最小の数は \(1000_{(8)}\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~1000_{(8)}&=&1 \cdot 8^3\\[3pt]~~~&=&512\end{eqnarray}\)
この \(512\) を \(2\) 進法で表すと、
\(\begin{array}{rr}2~)~512~\\[-3pt]2~)\overline{~256~}&\cdots~0\\[-3pt]2~)\overline{~128~}&\cdots~0\\[-3pt]2~)\overline{~~64~}&\cdots~0\\[-3pt]2~)\overline{~~32~}&\cdots~0\\[-3pt]2~)\overline{~~16~}&\cdots~0\\[-3pt]2~)\overline{~~~8~~}&\cdots~0\\[-3pt]2~)\overline{~~~4~~}&\cdots~0\\[-3pt]2~)\overline{~~~2~~}&\cdots~0\\[-3pt]2~)\overline{~~~1~~}&\cdots~0\\[-3pt]\overline{~~~0~~}&\cdots~1\end{array}\)
\(512=1000000000_{(2)}\)
したがって、\(2\) 進法で表したときの桁数は \(10\) 桁となる
