このページは、「絞り込みが必要な方程式の整数解」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a{\small ~≦~}b{\small ~≦~}c\) かつ \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}=1\) を満たす正の整数 \(a~,~b~,~c\) の組をすべて求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.143 練習問題 7
\(a{\small ~≦~}b{\small ~≦~}c\) より
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}\)
これより、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\)
※ 全部 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\) にした方が大きくなる。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~1 &{\small ~≦~}& \displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}\\[5pt]~~~1{\, \small \times \,}a &{\small ~≦~}& \displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}{\, \small \times \,}a\\[5pt]~~~a &{\small ~≦~}& 3\end{eqnarray}\)
\(a\) は自然数より、\(a=1~,~2~,~3\)
\({\rm [\,1\,]}\) \(a=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&1\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&0\end{eqnarray}\)
\(b~,~c\) は自然数なので、これを満たす \(b~,~c\) の組はない
\({\rm [\,2\,]}\) \(a=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&1\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}\)
※ どちらも \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}\) の方が大きくなる。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,b\,}\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} &{\small ~≦~}& \displaystyle \frac{\,2\,}{\,b\,}\\[5pt]~~~b &{\small ~≦~}& 4\end{eqnarray}\)
\(b\) は自然数かつ \(a{\small ~≦~}b\) より \(b{\small ~≧~}2\)
したがって、\(b=2~,~3~,~4\)
\(b=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&0\end{eqnarray}\)
これを満たす自然数 \(c\) はない
\(b=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&\displaystyle \frac{\,3-2\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~c&=&6\end{eqnarray}\)
これは \(b{\small ~≦~}c\) を満たす
\(b=4\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&\displaystyle \frac{\,2-1\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~c&=&4\end{eqnarray}\)
これは \(b{\small ~≦~}c\) を満たす
\({\rm [\,3\,]}\) \(a=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&1\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}\)
※ どちらも \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}\) の方が大きくなる。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,b\,}\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} &{\small ~≦~}& \displaystyle \frac{\,2\,}{\,b\,}\\[5pt]~~~b &{\small ~≦~}& 3\end{eqnarray}\)
\(b\) は自然数かつ \(a{\small ~≦~}b\) より \(b{\small ~≧~}3\)
したがって、\(b=3\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,c\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~c&=&3\end{eqnarray}\)
これは \(b{\small ~≦~}c\) を満たす
したがって、この等式を満たす自然数の組は \((a~,~b~,~c)=(2~,~3~,~6)~,~(2~,~4~,~4)~,~(3~,~3~,~3)\) となる
