連続する整数の積の証明

[証明] \(n(n+1)(n+2)\) について、

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\({\small [\,1\,]}\) \(n~,~n+1\) は連続する \(2\) つの整数より、

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\(n\) と \(n+1\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数になる

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\({\small [\,2\,]}\) 整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、\(k\) を整数として、

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　\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)

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　\({\small (1)}~n=3k\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~&&n(n+1)(n+2)\\[3pt]~~~&=&3k(3k+1)(3k+2)\end{eqnarray}\)

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　　よって、\(3\) の倍数となる

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　\({\small (2)}~n=3k+1\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~&&n(n+1)(n+2)\\[3pt]~~~&=&(3k+1)(3k+1+1)(3k+1+2)\\[3pt]~~~&=&(3k+1)(3k+2)(3k+3)\\[3pt]~~~&=&3(3k+1)(3k+2)(k+1)\end{eqnarray}\)

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　　よって、\(3\) の倍数となる

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　\({\small (3)}~n=3k+2\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~&&n(n+1)(n+2)\\[3pt]~~~&=&(3k+2)(3k+2+1)(3k+2+2)\\[3pt]~~~&=&(3k+2)(3k+3)(3k+4)\\[3pt]~~~&=&3(3k+2)(k+1)(3k+4)\end{eqnarray}\)

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　　よって、\(3\) の倍数となる

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これより、\(n(n+1)(n+2)\) は \(3\) の倍数となる

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\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、\(n(n+1)(n+2)\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数になる

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したがって、\(n(n+1)(n+2)\) は \(6\) の倍数となる [終]