- 数学A｜整数の性質「最大公約数と最小公倍数の性質」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜最大公約数と最小公倍数の性質
整数の性質 17☆最大公約数が \(6\) 、最小公倍数が \(180\) である \(2\) つの自然数 \(a~,~b~(a \lt b)\) をすべて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
最大公約数と最小公倍数の性質
Point：最大公約数と最小公倍数の性質
\(\small [\,1\,]~\)\(a=ga^{\prime}~,~b=gb^{\prime}\)
\(\small [\,2\,]~\)\(l=ga^{\prime}b^{\prime}\)
\(\small [\,3\,]~\)\(ab=gl\)
最大公約数と最小公倍数から \(2\) つの自然数を求めるには、
① 互いに素である \(2\) つの自然数 \(a^{\prime}~,~b^{\prime}\) を用いて、\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) の式を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a=6a^{\prime}~,~b=6b^{\prime}
\\[3pt] 180=6a^{\prime}b^{\prime}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
② \(\small [\,2\,]\) の式と \(a^{\prime}\) と \(b^{\prime}\) が互いに素であることより、\(a^{\prime}\) と \(b^{\prime}\) の組を求める。
\(a^{\prime}b^{\prime}=30\) より、\(a^{\prime}~,~b^{\prime}\) は \(30\) の組を求める。
③ \(\small [\,1\,]\) の式より、\(a~,~b\) の組を求める。
\(2\) つの自然数 \(a~,~b\) の最大公約数が \(g\) 、最小公倍数が \(l\) のとき、互いに素である \(2\) つの自然数 \(a^{\prime}~,~b^{\prime}\) を用いて、
\(\small [\,1\,]~\)\(a=ga^{\prime}~,~b=gb^{\prime}\)
\(\small [\,2\,]~\)\(l=ga^{\prime}b^{\prime}\)
\(\small [\,3\,]~\)\(ab=gl\)
最大公約数と最小公倍数から \(2\) つの自然数を求めるには、
① 互いに素である \(2\) つの自然数 \(a^{\prime}~,~b^{\prime}\) を用いて、\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) の式を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a=6a^{\prime}~,~b=6b^{\prime}
\\[3pt] 180=6a^{\prime}b^{\prime}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
② \(\small [\,2\,]\) の式と \(a^{\prime}\) と \(b^{\prime}\) が互いに素であることより、\(a^{\prime}\) と \(b^{\prime}\) の組を求める。
\(a^{\prime}b^{\prime}=30\) より、\(a^{\prime}~,~b^{\prime}\) は \(30\) の組を求める。
③ \(\small [\,1\,]\) の式より、\(a~,~b\) の組を求める。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜最大公約数と最小公倍数の性質
整数の性質 17☆最大公約数が \(6\) 、最小公倍数が \(180\) である \(2\) つの自然数 \(a~,~b~(a \lt b)\) をすべて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
最大公約数が \(6\) 、最小公倍数が \(180\) であり、互いに素で \(a^{\prime} \lt b^{\prime}\) である \(2\) つの自然数 \(a^{\prime}~,~b^{\prime}\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a=6a^{\prime}~,~b=6b^{\prime}~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\[3pt] 180=6a^{\prime}b^{\prime}~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~6a^{\prime}b^{\prime}&=&180
\\[3pt]~~~a^{\prime}b^{\prime}&=&30\end{eqnarray}\)
\(a^{\prime}~,~b^{\prime}\) は互いに素で \(a^{\prime} \lt b^{\prime}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left(\,\begin{array}{c} a^{\prime} \\ b^{\prime} \end{array}\,\right)=\left(\,\begin{array}{c} 1 \\ 30 \end{array}\,\right)~,~\left(\,\begin{array}{c} 2 \\ 15 \end{array}\,\right)~,~\left(\,\begin{array}{c} 3 \\ 10 \end{array}\,\right)~,~\left(\,\begin{array}{c} 5 \\ 6 \end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left(\,\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\,\right)=\left(\,\begin{array}{c} 6a^{\prime} \\ 6b^{\prime} \end{array}\,\right)=\left(\,\begin{array}{c} 6 \\ 180 \end{array}\,\right)~,~\left(\,\begin{array}{c} 12 \\ 90 \end{array}\,\right)~,~\left(\,\begin{array}{c} 18 \\ 60 \end{array}\,\right)~,~\left(\,\begin{array}{c} 30 \\ 36 \end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~(a~,~b)&=&(6~,~180)~,~(12~,~90)~,~\\[3pt]&&(18~,~60)~,~(30~,~36)\end{eqnarray}\)
となる
