- 数学A｜整数の性質「素因数分解と最大公約数・最小公倍数」の基本例題解説ページです。
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問題｜素因数分解と最大公約数・最小公倍数
整数の性質 13\(72\) と \(336\) 、\(36\) と \(120\) と \(126\) の最大公約数と最小公倍数を素因数分解を用いて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
素因数分解と最大公約数・最小公倍数
Point：素因数分解と最大公約数・最小公倍数
① それぞれの数を素因数分解する。
\(\begin{eqnarray}~~~72&=&2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^0
\\[3pt]~~~336&=&2^4 \cdot 3^1 \cdot 7^1
\end{eqnarray}\)
② 最大公約数は、共通の素因数の指数が小さい方の積で、最小公倍数は、共通の素因数の指数が大きい方の積で求める。
最大公約数 \(2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^0=24\)
最小公倍数 \(2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^1=1008\)
素因数分解を用いた最大公約数・最小公倍数の求め方は、
① それぞれの数を素因数分解する。
\(\begin{eqnarray}~~~72&=&2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^0
\\[3pt]~~~336&=&2^4 \cdot 3^1 \cdot 7^1
\end{eqnarray}\)
② 最大公約数は、共通の素因数の指数が小さい方の積で、最小公倍数は、共通の素因数の指数が大きい方の積で求める。
最大公約数 \(2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^0=24\)
最小公倍数 \(2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^1=1008\)
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詳しい解説｜素因数分解と最大公約数・最小公倍数
整数の性質 13\(72\) と \(336\) 、\(36\) と \(120\) と \(126\) の最大公約数と最小公倍数を素因数分解を用いて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
\(72\) を素因数分解すると、
\(\begin{array}{rr}2~)~~72~\\[-3pt]2~)\overline{~~36~}\\[-3pt]2~)\overline{~~18~}\\[-3pt]3~)\overline{~~~9~~}\\[-3pt]\overline{~~~3~~}\end{array}\)
よって、\(72=2^3 \cdot 3^2\)
\(336\) を素因数分解すると、
\(\begin{array}{rr}2~)~~336~\\[-3pt]2~)\overline{~~168~}\\[-3pt]2~)\overline{~~~84~~}\\[-3pt]2~)\overline{~~~42~~}\\[-3pt]3~)\overline{~~~21~~}\\[-3pt]\overline{~~~~7~~~}\end{array}\)
よって、\(336=2^4 \cdot 3 \cdot 7\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~72&=&2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^0
\\[3pt]~~~336&=&2^4 \cdot 3^1 \cdot 7^1
\end{eqnarray}\)
最大公約数は、共通な素因数の指数が小さい方の積より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^0\\[3pt]~~~&=&8 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&24\end{eqnarray}\)
最小公倍数は、共通な素因数の指数が大きい方の積より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^1\\[3pt]~~~&=&16 \cdot 9 \cdot 7\\[3pt]~~~&=&1008\end{eqnarray}\)
したがって、
\(72\) と \(336\) の最大公約数は \(24\) 、
最小公倍数は \(1008\) となる
\(36\) を素因数分解すると、
\(\begin{array}{rr}2~)~~36~\\[-3pt]2~)\overline{~~18~}\\[-3pt]3~)\overline{~~~9~~}\\[-3pt]\overline{~~~3~~}\end{array}\)
よって、\(36=2^2 \cdot 3^2\)
\(120\) を素因数分解すると、
\(\begin{array}{rr}2~)~~120~\\[-3pt]2~)\overline{~~60~}\\[-3pt]2~)\overline{~~30~}\\[-3pt]3~)\overline{~~15~}\\[-3pt]\overline{~~~5~~}\end{array}\)
よって、\(120=2^3 \cdot 3 \cdot 5\)
\(126\) を素因数分解すると、
\(\begin{array}{rr}2~)~~126~\\[-3pt]3~)\overline{~~63~}\\[-3pt]3~)\overline{~~21~}\\[-3pt]\overline{~~~7~~}\end{array}\)
よって、\(126=2 \cdot 3^2 \cdot 7\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~36&=&2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^0 \cdot 7^0
\\[3pt]~~~120&=&2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^0
\\[3pt]~~~126&=&2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^0 \cdot 7^1
\end{eqnarray}\)
最大公約数は、共通な素因数の指数が小さい方の積より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^0 \cdot 7^0\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
最小公倍数は、共通な素因数の指数が大きい方の積より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1\\[3pt]~~~&=&8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7\\[3pt]~~~&=&2520\end{eqnarray}\)
したがって、
\(36\) と \(120\) と \(126\) の最大公約数は \(6\) 、
最小公倍数は \(2520\) となる
