- 数学A｜整数の性質「2つの自然数の積と最大公約数」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜2つの自然数の積と最大公約数
整数の性質 18☆最大公約数が \(10\) 、積が \(1800\) である \(2\) つの自然数 \(a~,~b~(a \lt b)\) をすべて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
2つの自然数の積と最大公約数
Point：2つの自然数の積と最大公約数
① 互いに素である \(2\) つの自然数 \(a^{\prime}~,~b^{\prime}\) を用いて、\(a=ga^{\prime}~,~b=gb^{\prime}\) の式を立てる。
\(a=10a^{\prime}~,~b=10b^{\prime}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
② 積の条件に代入して、\(a^{\prime}\) と \(b^{\prime}\) が互いに素の条件より、\((a^{\prime}~,~b^{\prime})\) の組を求める。
\(ab=1800\) より \(a^{\prime}b^{\prime}=18\)
\(\begin{eqnarray}~~~ \left(\,\begin{array}{c} a^{\prime} \\ b^{\prime} \end{array}\,\right)=\left(\,\begin{array}{c} 1 \\ 18 \end{array}\,\right)~,~\left(\,\begin{array}{c} 2 \\ 9 \end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
③ \({\small [\,1\,]}\) の式より、\((a~,~b)\) の組を求める。
\(2\) つの自然数の積と最大公約数の条件は、
① 互いに素である \(2\) つの自然数 \(a^{\prime}~,~b^{\prime}\) を用いて、\(a=ga^{\prime}~,~b=gb^{\prime}\) の式を立てる。
\(a=10a^{\prime}~,~b=10b^{\prime}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
② 積の条件に代入して、\(a^{\prime}\) と \(b^{\prime}\) が互いに素の条件より、\((a^{\prime}~,~b^{\prime})\) の組を求める。
\(ab=1800\) より \(a^{\prime}b^{\prime}=18\)
\(\begin{eqnarray}~~~ \left(\,\begin{array}{c} a^{\prime} \\ b^{\prime} \end{array}\,\right)=\left(\,\begin{array}{c} 1 \\ 18 \end{array}\,\right)~,~\left(\,\begin{array}{c} 2 \\ 9 \end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
③ \({\small [\,1\,]}\) の式より、\((a~,~b)\) の組を求める。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜2つの自然数の積と最大公約数
整数の性質 18☆最大公約数が \(10\) 、積が \(1800\) である \(2\) つの自然数 \(a~,~b~(a \lt b)\) をすべて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
最大公約数が \(10\) であり、互いに素で \(a^{\prime} \lt b^{\prime}\) である \(2\) つの自然数 \(a^{\prime}~,~b^{\prime}\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~a=10a^{\prime}~,~b=10b^{\prime}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、\(a\) と \(b\) の積が \(1800\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~ab=1800\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~10a^{\prime} \cdot 10b^{\prime}&=&1800
\\[3pt]~~~a^{\prime}b^{\prime}&=&18\end{eqnarray}\)
\(a^{\prime}\) と \(b^{\prime}\) は互いに素で \(a^{\prime} \lt b^{\prime}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left(\,\begin{array}{c} a^{\prime} \\ b^{\prime} \end{array}\,\right)=\left(\,\begin{array}{c} 1 \\ 18 \end{array}\,\right)~,~\left(\,\begin{array}{c} 2 \\ 9 \end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
※ \((3~,~6)\) は積が \(18\) だが互いに素ではないので除く。
よって、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left(\,\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\,\right)=\left(\,\begin{array}{c} 10a^{\prime} \\ 10b^{\prime} \end{array}\,\right)=\left(\,\begin{array}{c} 10 \\ 180 \end{array}\,\right)~,~\left(\,\begin{array}{c} 20 \\ 90 \end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
したがって、\((a~,~b)=(10~,~180)~,~(20~,~90)\) となる
