- 数学A｜整数の性質「合同式を用いたaⁿの余り」の基本例題解説ページです。
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問題｜合同式を用いたaⁿの余り
整数の性質 26☆\(10^{50}~,~\)\(5^{100}~,~\)\(5^{99}\) を \(3\) で割ったときの余りを合同式を用いて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
合同式を用いたaⁿの余り
Point：合同式を用いたaⁿの余り
① 余りが \(1\) になるような、合同式をつくる。
\(5\) を \(3\) で割った余りは \(2\)
\(5^2=25\) を \(3\) で割った余りは \(1\)
これより、\(5^2=25\equiv 1 \pmod{3}\)
② 合同式の性質を用いて、\(a^n\) の余りを求める。
\(5^2\equiv 1 \pmod{3}\)
\(a\equiv b \pmod{m}\) は \(a~,~b\) を \(n\) 乗しても成り立つので、
\(\begin{eqnarray}~~~(5^2)^{50}&\equiv& 1^{50} \pmod{3}\\[3pt]~~~5^{100}&\equiv& 1 \pmod{3}\end{eqnarray}\)
これより、\(5^{100}\) を \(3\) で割った余りは \(1\)
合同式を用いた \(a^n\) の余りは、
① 余りが \(1\) になるような、合同式をつくる。
\(5\) を \(3\) で割った余りは \(2\)
\(5^2=25\) を \(3\) で割った余りは \(1\)
これより、\(5^2=25\equiv 1 \pmod{3}\)
② 合同式の性質を用いて、\(a^n\) の余りを求める。
\(5^2\equiv 1 \pmod{3}\)
\(a\equiv b \pmod{m}\) は \(a~,~b\) を \(n\) 乗しても成り立つので、
\(\begin{eqnarray}~~~(5^2)^{50}&\equiv& 1^{50} \pmod{3}\\[3pt]~~~5^{100}&\equiv& 1 \pmod{3}\end{eqnarray}\)
これより、\(5^{100}\) を \(3\) で割った余りは \(1\)
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詳しい解説｜合同式を用いたaⁿの余り
整数の性質 26☆\(10^{50}~,~\)\(5^{100}~,~\)\(5^{99}\) を \(3\) で割ったときの余りを合同式を用いて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
\(10\) を \(3\) で割った余りは、
\(10\equiv 1 \pmod{3}\)
合同式の性質より、両辺を \(50\) 乗しても成り立つので、
\(10^{50}\equiv 1^{50}\equiv 1 \pmod{3}\)
したがって、\(10^{50}\) を \(3\) で割った余りは \(1\) となる
余りが \(1\) になるように、\(5^2=25\) を \(3\) で割った余りを考えると、
\(5^2=25\equiv 1 \pmod{3}\)
合同式の性質より、両辺を \(50\) 乗しても成り立つので、
\(\begin{eqnarray}~~~(5^2)^{50}&\equiv& 1^{50} \pmod{3}\\[3pt]~~~5^{100}&\equiv& 1 \pmod{3}\end{eqnarray}\)
したがって、\(5^{100}\) を \(3\) で割った余りは \(1\) となる
\(5^{99}\) の指数を \(2 \cdot 49+1\) と考えると、
\(5^{99}=5^{2 \cdot 49+1}=(5^2)^{49} \cdot 5\)
合同式 \(5^2\equiv 1 \pmod{3}\) の両辺を \(49\) 乗しても成り立つので、
\((5^2)^{49}\equiv 1^{49} \pmod{3}\)
さらに、両辺を \(5\) 倍しても合同式は成り立つので、
\(\begin{eqnarray}~~~5^{99}&\equiv& (5^2)^{49} \cdot 5 \pmod{3}
\\[3pt]~~~&\equiv& 1^{49} \cdot 5 \pmod{3}
\\[3pt]~~~&\equiv& 5\equiv 2 \pmod{3}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(5^{99}\) を \(3\) で割った余りは \(5\) を \(3\) で割った余りに等しく、\(2\) となる
