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問題｜1次不定方程式の整数解
整数の性質 31方程式 \(5x+2y=0~,~\)\(5x+2y=1~,~\)\(5x+2y=2\) の整数解をすべて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
1次不定方程式の整数解
Point：1次不定方程式の整数解
■ \(ax+by=0\) タイプ
\(5x=-2y\) と式変形して、
\(5\) と \(2\) は互いに素より、\(x\) は \(2\) の倍数となる。
よって、整数 \(k\) を用いて、
\(x=2k~,~y=-5k\)
\(5x+2y=1\) では、
① 整数解の \(1\) つを見つける。
\(x=1~,~y=-2\) が整数解の \(1\) 組より、
\(5 \cdot 1+2 \cdot (-2)=1\)
② この式ともとの式との差を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~~~5x+2y&=&1\\-~\big{)}~~~5 \cdot 1+2 \cdot (-2)&=&1\\[3pt]\hline 5(x-1)+2(y+2)&=&0\end{eqnarray}\)
③ 任意の \(a~,~b\) が互いに素として、整数解を求める。
\(5\) と \(2\) は互いに素より、\(x-1\) は \(2\) の倍数となる。
整数 \(k\) を用いて、
\(x=2k+1~,~y=-5k-2\)
右辺が \(1\) 以外の整数 \(c\) の場合は、
\(\small [\,1\,]\) 右辺を \(c\) にした整数解 \((x~,~y)\) の組を見つける。
\(\small [\,2\,]\) 右辺を \(1\) にした整数解 \((x~,~y)\) の組を見つけて、両方を \(c\) 倍する。
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) のどちらかを使って計算する。
1次不定方程式の整数解は、
■ \(ax+by=0\) タイプ
\(5x=-2y\) と式変形して、
\(5\) と \(2\) は互いに素より、\(x\) は \(2\) の倍数となる。
よって、整数 \(k\) を用いて、
\(x=2k~,~y=-5k\)
■ \(ax+by=1\) タイプ
\(5x+2y=1\) では、
① 整数解の \(1\) つを見つける。
\(x=1~,~y=-2\) が整数解の \(1\) 組より、
\(5 \cdot 1+2 \cdot (-2)=1\)
② この式ともとの式との差を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~~~5x+2y&=&1\\-~\big{)}~~~5 \cdot 1+2 \cdot (-2)&=&1\\[3pt]\hline 5(x-1)+2(y+2)&=&0\end{eqnarray}\)
③ 任意の \(a~,~b\) が互いに素として、整数解を求める。
\(5\) と \(2\) は互いに素より、\(x-1\) は \(2\) の倍数となる。
整数 \(k\) を用いて、
\(x=2k+1~,~y=-5k-2\)
■ \(ax+by=c\) タイプ
右辺が \(1\) 以外の整数 \(c\) の場合は、
\(\small [\,1\,]\) 右辺を \(c\) にした整数解 \((x~,~y)\) の組を見つける。
\(\small [\,2\,]\) 右辺を \(1\) にした整数解 \((x~,~y)\) の組を見つけて、両方を \(c\) 倍する。
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) のどちらかを使って計算する。
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詳しい解説｜1次不定方程式の整数解
整数の性質 31方程式 \(5x+2y=0~,~\)\(5x+2y=1~,~\)\(5x+2y=2\) の整数解をすべて求める方法は？
高校数学A｜整数の性質
方程式 \(5x+2y=0\) より、
\(5x=-2y~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(5\) と \(2\) は互いに素より、\(x\) は \(2\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(x=2k\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~5 \cdot 2k&=&-2y\\[3pt]~~~-2y&=&2 \cdot 5k\\[3pt]~~~y&=&-5k\end{eqnarray}\)
したがって、方程式 \(5x+2y=0\) の整数解は \(x=2k~,~y=-5k\) （\(k\) は整数）となる
方程式 \(5x+2y=1\) を満たす整数解の \(1\) つは \(x=1~,~y=-2\) であるので、
\(5 \cdot 1+2 \cdot (-2)=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}-{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~5x+2y&=&1\\-~\big{)}~~~5 \cdot 1+2 \cdot (-2)&=&1\\[3pt]\hline 5(x-1)+2(y+2)&=&0\end{eqnarray}\)
\(5(x-1)=-2(y+2)~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\(5x-5 \cdot 1=5(x-1)\)
\(2y-2 \cdot (-2)=2\left\{\,y-(-2)\,\right\}=2(y+2)\)
\(5\) と \(2\) は互いに素より、\(x-1\) は \(2\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x-1&=&2k\\[3pt]~~~x&=&2k+1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) に \(x-1=2k\) を代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~5 \cdot 2k&=&-2(y+2)\\[3pt]~~~-2(y+2)&=&2 \cdot 5k\\[3pt]~~~y+2&=&-5k\\[3pt]~~~y&=&-5k-2\end{eqnarray}\)
したがって、方程式 \(5x+2y=1\) の整数解は \(x=2k+1~,~y=-5k-2\) （\(k\) は整数）となる
方程式 \(5x+2y=1\) を満たす整数解の \(1\) つは \(x=1~,~y=-2\) であるので、
\(5 \cdot 1+2 \cdot (-2)=1\)
これより、両辺を \(2\) 倍すると、
\(5 \cdot 2+2 \cdot (-4)=2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
よって、方程式 \(5x+2y=2\) を満たす整数解の \(1\) つは \(x=2~,~y=-4\) とすると、
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~5x+2y&=&2\\-~\big{)}~~~5 \cdot 2+2 \cdot (-4)&=&2\\[3pt]\hline 5(x-2)+2(y+4)&=&0\end{eqnarray}\)
\(5(x-2)=-2(y+4)~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\(5x-5 \cdot 2=5(x-2)\)
\(2y-2 \cdot (-4)=2\left\{\,y-(-4)\,\right\}=2(y+4)\)
\(5\) と \(2\) は互いに素より、\(x-2\) は \(2\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x-2&=&2k\\[3pt]~~~x&=&2k+2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) に \(x-2=2k\) を代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~5 \cdot 2k&=&-2(y+4)\\[3pt]~~~-2(y+4)&=&2 \cdot 5k\\[3pt]~~~y+4&=&-5k\\[3pt]~~~y&=&-5k-4\end{eqnarray}\)
したがって、方程式 \(5x+2y=2\) の整数解は \(x=2k+2~,~y=-5k-4\) （\(k\) は整数）となる
