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余りの条件と1次不定方程式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(7\) で割ると \(3\) 余り、\(17\) で割ると \(8\) 余るような自然数のうち、\(4\) 桁で最小のものを求めよ。
数研出版｜数学A[104-901] p.159 練習21
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整数 \(x~,~y\) を用いて、自然数 \(n\) は \(7\) で割ると \(3\) 余るので、
\(n=7x+3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(17\) で割ると \(8\) 余るので、
\(n=17y+8~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~7x+3&=&17y+8\\[3pt]~~~7x-17y&=&5~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=8~,~y=3\) は \(7x-17y=5\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(7 \cdot 8-17 \cdot 3=5~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~7x-17y&=&5\\-~\big{)}~~~7 \cdot 8-17 \cdot 3&=&5\\[3pt]\hline 7(x-8)-17(y-3)&=&0\end{eqnarray}\)
\(7(x-8)=17(y-3)\)
\(7\) と \(17\) は互いに素より、\(x-8\) は \(17\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x-8&=&17k\\[3pt]~~~x&=&17k+8\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&7 \cdot (17k+8)+3\\[3pt]~~~&=&119k+56+3\\[3pt]~~~&=&119k+59\end{eqnarray}\)
\(4\) 桁の自然数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~119k+59&{\small ~≧~}&1000\\[3pt]~~~119k&{\small ~≧~}&941\\[3pt]~~~k&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,941\,}{\,119\,}=7.90\cdots\end{eqnarray}\)
これを満たす最小の \(k\) は \(k=8\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&119 \cdot 8+59\\[3pt]~~~&=&952+59\\[3pt]~~~&=&1011\end{eqnarray}\)
したがって、\(4\) 桁で最小の自然数 \(n\) は \(1011\) となる
\(n=7x+3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(17\) で割ると \(8\) 余るので、
\(n=17y+8~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~7x+3&=&17y+8\\[3pt]~~~7x-17y&=&5~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=8~,~y=3\) は \(7x-17y=5\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(7 \cdot 8-17 \cdot 3=5~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~7x-17y&=&5\\-~\big{)}~~~7 \cdot 8-17 \cdot 3&=&5\\[3pt]\hline 7(x-8)-17(y-3)&=&0\end{eqnarray}\)
\(7(x-8)=17(y-3)\)
\(7\) と \(17\) は互いに素より、\(x-8\) は \(17\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x-8&=&17k\\[3pt]~~~x&=&17k+8\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&7 \cdot (17k+8)+3\\[3pt]~~~&=&119k+56+3\\[3pt]~~~&=&119k+59\end{eqnarray}\)
\(4\) 桁の自然数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~119k+59&{\small ~≧~}&1000\\[3pt]~~~119k&{\small ~≧~}&941\\[3pt]~~~k&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,941\,}{\,119\,}=7.90\cdots\end{eqnarray}\)
これを満たす最小の \(k\) は \(k=8\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&119 \cdot 8+59\\[3pt]~~~&=&952+59\\[3pt]~~~&=&1011\end{eqnarray}\)
したがって、\(4\) 桁で最小の自然数 \(n\) は \(1011\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(7\) で割ると \(5\) 余り、\(13\) で割ると \(8\) 余るような自然数のうち、\(3\) 桁で最大のものを求めよ。
数研出版｜数学A[104-901] p.165 問題 13
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整数 \(x~,~y\) を用いて、自然数 \(n\) は \(7\) で割ると \(5\) 余るので、
\(n=7x+5~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(13\) で割ると \(8\) 余るので、
\(n=13y+8~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~7x+5&=&13y+8\\[3pt]~~~7x-13y&=&3~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=2~,~y=1\) は \(7x-13y=1\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(7 \cdot 2-13 \cdot 1=1\)
両辺を \(3\) 倍すると、\(x=6~,~y=3\) は \(7x-13y=3\) の整数解の \(1\) つとなるので、
\(7 \cdot 6-13 \cdot 3=3~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~7x-13y&=&3\\-~\big{)}~~~7 \cdot 6-13 \cdot 3&=&3\\[3pt]\hline 7(x-6)-13(y-3)&=&0\end{eqnarray}\)
\(7(x-6)=13(y-3)\)
\(7\) と \(13\) は互いに素より、\(x-6\) は \(13\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x-6&=&13k\\[3pt]~~~x&=&13k+6\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&7 \cdot (13k+6)+5\\[3pt]~~~&=&91k+42+5\\[3pt]~~~&=&91k+47\end{eqnarray}\)
\(3\) 桁の自然数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~91k+47&{\small ~≦~}&999\\[3pt]~~~91k&{\small ~≦~}&952\\[3pt]~~~k&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,952\,}{\,91\,}=10.4\cdots\end{eqnarray}\)
これを満たす最大の \(k\) は \(k=10\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&91 \cdot 10+47\\[3pt]~~~&=&910+47\\[3pt]~~~&=&957\end{eqnarray}\)
したがって、\(3\) 桁で最大の自然数 \(n\) は \(957\) となる
\(n=7x+5~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(13\) で割ると \(8\) 余るので、
\(n=13y+8~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~7x+5&=&13y+8\\[3pt]~~~7x-13y&=&3~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=2~,~y=1\) は \(7x-13y=1\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(7 \cdot 2-13 \cdot 1=1\)
両辺を \(3\) 倍すると、\(x=6~,~y=3\) は \(7x-13y=3\) の整数解の \(1\) つとなるので、
\(7 \cdot 6-13 \cdot 3=3~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~7x-13y&=&3\\-~\big{)}~~~7 \cdot 6-13 \cdot 3&=&3\\[3pt]\hline 7(x-6)-13(y-3)&=&0\end{eqnarray}\)
\(7(x-6)=13(y-3)\)
\(7\) と \(13\) は互いに素より、\(x-6\) は \(13\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x-6&=&13k\\[3pt]~~~x&=&13k+6\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&7 \cdot (13k+6)+5\\[3pt]~~~&=&91k+42+5\\[3pt]~~~&=&91k+47\end{eqnarray}\)
\(3\) 桁の自然数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~91k+47&{\small ~≦~}&999\\[3pt]~~~91k&{\small ~≦~}&952\\[3pt]~~~k&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,952\,}{\,91\,}=10.4\cdots\end{eqnarray}\)
これを満たす最大の \(k\) は \(k=10\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&91 \cdot 10+47\\[3pt]~~~&=&910+47\\[3pt]~~~&=&957\end{eqnarray}\)
したがって、\(3\) 桁で最大の自然数 \(n\) は \(957\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(9\) で割ると \(4\) 余り、\(5\) で割ると \(3\) 余る自然数 \(n\) を、\(45\) で割ったときの余りを求めよ。
数研出版｜数学A[104-901] p.134 演習問題A 6
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整数 \(x~,~y\) を用いて、自然数 \(n\) は \(9\) で割ると \(4\) 余るので、
\(n=9x+4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(5\) で割ると \(3\) 余るので、
\(n=5y+3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~9x+4&=&5y+3\\[3pt]~~~9x-5y&=&-1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=1~,~y=2\) は \(9x-5y=-1\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(9 \cdot 1-5 \cdot 2=-1~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~9x-5y&=&-1\\-~\big{)}~~~9 \cdot 1-5 \cdot 2&=&-1\\[3pt]\hline 9(x-1)-5(y-2)&=&0\end{eqnarray}\)
\(9(x-1)=5(y-2)\)
\(9\) と \(5\) は互いに素より、\(x-1\) は \(5\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x-1&=&5k\\[3pt]~~~x&=&5k+1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&9 \cdot (5k+1)+4\\[3pt]~~~&=&45k+9+4\\[3pt]~~~&=&45k+13\end{eqnarray}\)
したがって、\(n\) を \(45\) で割ったときの余りは \(13\) となる
\(n=9x+4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(5\) で割ると \(3\) 余るので、
\(n=5y+3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~9x+4&=&5y+3\\[3pt]~~~9x-5y&=&-1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=1~,~y=2\) は \(9x-5y=-1\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(9 \cdot 1-5 \cdot 2=-1~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~9x-5y&=&-1\\-~\big{)}~~~9 \cdot 1-5 \cdot 2&=&-1\\[3pt]\hline 9(x-1)-5(y-2)&=&0\end{eqnarray}\)
\(9(x-1)=5(y-2)\)
\(9\) と \(5\) は互いに素より、\(x-1\) は \(5\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x-1&=&5k\\[3pt]~~~x&=&5k+1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&9 \cdot (5k+1)+4\\[3pt]~~~&=&45k+9+4\\[3pt]~~~&=&45k+13\end{eqnarray}\)
したがって、\(n\) を \(45\) で割ったときの余りは \(13\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(3\) で割ると \(1\) 余り、\(5\) で割ると \(2\) 余り、\(7\) で割ると \(3\) 余るような自然数 \(n\) で最小のものを求めよ。
数研出版｜数学A[104-901] p.135 演習問題B 15
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整数 \(x~,~y~,~z\) を用いて、自然数 \(n\) は \(3\) で割ると \(1\) 余るので、
\(n=3x+1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(5\) で割ると \(2\) 余るので、
\(n=5y+2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\(7\) で割ると \(3\) 余るので、
\(n=7z+3~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3x+1&=&5y+2\\[3pt]~~~3x-5y&=&1~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=2~,~y=1\) は \(3x-5y=1\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(3 \cdot 2-5 \cdot 1=1~~~\cdots {\small [\,5\,]}\)
\({\small [\,4\,]}-{\small [\,5\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~3x-5y&=&1\\-~\big{)}~~~3 \cdot 2-5 \cdot 1&=&1\\[3pt]\hline 3(x-2)-5(y-1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(3(x-2)=5(y-1)\)
\(3\) と \(5\) は互いに素より、\(x-2\) は \(5\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x-2&=&5k\\[3pt]~~~x&=&5k+2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&3 \cdot (5k+2)+1\\[3pt]~~~&=&15k+6+1\\[3pt]~~~&=&15k+7~~~\cdots {\small [\,6\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}~,~{\small [\,6\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~15k+7&=&7z+3\\[3pt]~~~15k-7z&=&-4~~~\cdots {\small [\,7\,]}\end{eqnarray}\)
\(k=3~,~z=7\) は \(15k-7z=-4\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(15 \cdot 3-7 \cdot 7=-4~~~\cdots {\small [\,8\,]}\)
\({\small [\,7\,]}-{\small [\,8\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~15k-7z&=&-4\\-~\big{)}~~~15 \cdot 3-7 \cdot 7&=&-4\\[3pt]\hline 15(k-3)-7(z-7)&=&0\end{eqnarray}\)
\(15(k-3)=7(z-7)\)
\(15\) と \(7\) は互いに素より、\(k-3\) は \(7\) の倍数となるので、
整数 \(l\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~k-3&=&7l\\[3pt]~~~k&=&7l+3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,6\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&15 \cdot (7l+3)+7\\[3pt]~~~&=&105l+45+7\\[3pt]~~~&=&105l+52\end{eqnarray}\)
\(n\) が自然数で最小となるのは \(l=0\) のときであるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&105 \cdot 0+52\\[3pt]~~~&=&52\end{eqnarray}\)
したがって、最小の自然数 \(n\) は \(52\) となる
\(n=3x+1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(5\) で割ると \(2\) 余るので、
\(n=5y+2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\(7\) で割ると \(3\) 余るので、
\(n=7z+3~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3x+1&=&5y+2\\[3pt]~~~3x-5y&=&1~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=2~,~y=1\) は \(3x-5y=1\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(3 \cdot 2-5 \cdot 1=1~~~\cdots {\small [\,5\,]}\)
\({\small [\,4\,]}-{\small [\,5\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~3x-5y&=&1\\-~\big{)}~~~3 \cdot 2-5 \cdot 1&=&1\\[3pt]\hline 3(x-2)-5(y-1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(3(x-2)=5(y-1)\)
\(3\) と \(5\) は互いに素より、\(x-2\) は \(5\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x-2&=&5k\\[3pt]~~~x&=&5k+2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&3 \cdot (5k+2)+1\\[3pt]~~~&=&15k+6+1\\[3pt]~~~&=&15k+7~~~\cdots {\small [\,6\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}~,~{\small [\,6\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~15k+7&=&7z+3\\[3pt]~~~15k-7z&=&-4~~~\cdots {\small [\,7\,]}\end{eqnarray}\)
\(k=3~,~z=7\) は \(15k-7z=-4\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(15 \cdot 3-7 \cdot 7=-4~~~\cdots {\small [\,8\,]}\)
\({\small [\,7\,]}-{\small [\,8\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~15k-7z&=&-4\\-~\big{)}~~~15 \cdot 3-7 \cdot 7&=&-4\\[3pt]\hline 15(k-3)-7(z-7)&=&0\end{eqnarray}\)
\(15(k-3)=7(z-7)\)
\(15\) と \(7\) は互いに素より、\(k-3\) は \(7\) の倍数となるので、
整数 \(l\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~k-3&=&7l\\[3pt]~~~k&=&7l+3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,6\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&15 \cdot (7l+3)+7\\[3pt]~~~&=&105l+45+7\\[3pt]~~~&=&105l+52\end{eqnarray}\)
\(n\) が自然数で最小となるのは \(l=0\) のときであるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&105 \cdot 0+52\\[3pt]~~~&=&52\end{eqnarray}\)
したがって、最小の自然数 \(n\) は \(52\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(17\) で割ると \(7\) 余り、\(12\) で割ると \(10\) 余る自然数のうち、\(4\) 桁で最小のものを求めよ。
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.153 練習22
数研出版｜新編数学A[104-904] p.143 練習25
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整数 \(x~,~y\) を用いて、自然数 \(n\) は \(17\) で割ると \(7\) 余るので、
\(n=17x+7~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(12\) で割ると \(10\) 余るので、
\(n=12y+10~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~17x+7&=&12y+10\\[3pt]~~~17x-12y&=&3~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=3~,~y=4\) は \(17x-12y=3\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(17 \cdot 3-12 \cdot 4=3~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~17x-12y&=&3\\-~\big{)}~~~17 \cdot 3-12 \cdot 4&=&3\\[3pt]\hline 17(x-3)-12(y-4)&=&0\end{eqnarray}\)
\(17(x-3)=12(y-4)\)
\(17\) と \(12\) は互いに素より、\(x-3\) は \(12\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x-3&=&12k\\[3pt]~~~x&=&12k+3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&17 \cdot (12k+3)+7\\[3pt]~~~&=&204k+51+7\\[3pt]~~~&=&204k+58\end{eqnarray}\)
\(4\) 桁の自然数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~204k+58&{\small ~≧~}&1000\\[3pt]~~~204k&{\small ~≧~}&942\\[3pt]~~~k&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,942\,}{\,204\,}=4.6\cdots\end{eqnarray}\)
これを満たす最小の \(k\) は \(k=5\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&204 \cdot 5+58\\[3pt]~~~&=&1020+58\\[3pt]~~~&=&1078\end{eqnarray}\)
したがって、\(4\) 桁で最小の自然数 \(n\) は \(1078\) となる
\(n=17x+7~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(12\) で割ると \(10\) 余るので、
\(n=12y+10~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~17x+7&=&12y+10\\[3pt]~~~17x-12y&=&3~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=3~,~y=4\) は \(17x-12y=3\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(17 \cdot 3-12 \cdot 4=3~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~17x-12y&=&3\\-~\big{)}~~~17 \cdot 3-12 \cdot 4&=&3\\[3pt]\hline 17(x-3)-12(y-4)&=&0\end{eqnarray}\)
\(17(x-3)=12(y-4)\)
\(17\) と \(12\) は互いに素より、\(x-3\) は \(12\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x-3&=&12k\\[3pt]~~~x&=&12k+3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&17 \cdot (12k+3)+7\\[3pt]~~~&=&204k+51+7\\[3pt]~~~&=&204k+58\end{eqnarray}\)
\(4\) 桁の自然数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~204k+58&{\small ~≧~}&1000\\[3pt]~~~204k&{\small ~≧~}&942\\[3pt]~~~k&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,942\,}{\,204\,}=4.6\cdots\end{eqnarray}\)
これを満たす最小の \(k\) は \(k=5\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&204 \cdot 5+58\\[3pt]~~~&=&1020+58\\[3pt]~~~&=&1078\end{eqnarray}\)
したがって、\(4\) 桁で最小の自然数 \(n\) は \(1078\) となる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\(3\) で割ると \(2\) 余り、\(4\) で割ると \(3\) 余る自然数のうち、\(3\) 桁で最大のものを求めよ。
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.157 問題 10
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整数 \(x~,~y\) を用いて、自然数 \(n\) は \(3\) で割ると \(2\) 余るので、
\(n=3x+2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(4\) で割ると \(3\) 余るので、
\(n=4y+3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3x+2&=&4y+3\\[3pt]~~~3x-4y&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=-1~,~y=-1\) は \(3x-4y=1\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(3 \cdot (-1)-4 \cdot (-1)=1~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~3x-4y&=&1\\-~\big{)}~~~3 \cdot (-1)-4 \cdot (-1)&=&1\\[3pt]\hline 3(x+1)-4(y+1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(3(x+1)=4(y+1)\)
\(3\) と \(4\) は互いに素より、\(x+1\) は \(4\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x+1&=&4k\\[3pt]~~~x&=&4k-1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&3 \cdot (4k-1)+2\\[3pt]~~~&=&12k-3+2\\[3pt]~~~&=&12k-1\end{eqnarray}\)
\(3\) 桁の自然数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~12k-1&{\small ~≦~}&999\\[3pt]~~~12k&{\small ~≦~}&1000\\[3pt]~~~k&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,1000\,}{\,12\,}=83.3\cdots\end{eqnarray}\)
これを満たす最大の \(k\) は \(k=83\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&12 \cdot 83-1\\[3pt]~~~&=&996-1\\[3pt]~~~&=&995\end{eqnarray}\)
したがって、\(3\) 桁で最大の自然数 \(n\) は \(995\) となる
\(n=3x+2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(4\) で割ると \(3\) 余るので、
\(n=4y+3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3x+2&=&4y+3\\[3pt]~~~3x-4y&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=-1~,~y=-1\) は \(3x-4y=1\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(3 \cdot (-1)-4 \cdot (-1)=1~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~3x-4y&=&1\\-~\big{)}~~~3 \cdot (-1)-4 \cdot (-1)&=&1\\[3pt]\hline 3(x+1)-4(y+1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(3(x+1)=4(y+1)\)
\(3\) と \(4\) は互いに素より、\(x+1\) は \(4\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x+1&=&4k\\[3pt]~~~x&=&4k-1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&3 \cdot (4k-1)+2\\[3pt]~~~&=&12k-3+2\\[3pt]~~~&=&12k-1\end{eqnarray}\)
\(3\) 桁の自然数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~12k-1&{\small ~≦~}&999\\[3pt]~~~12k&{\small ~≦~}&1000\\[3pt]~~~k&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,1000\,}{\,12\,}=83.3\cdots\end{eqnarray}\)
これを満たす最大の \(k\) は \(k=83\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&12 \cdot 83-1\\[3pt]~~~&=&996-1\\[3pt]~~~&=&995\end{eqnarray}\)
したがって、\(3\) 桁で最大の自然数 \(n\) は \(995\) となる
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07\(7\) で割ると \(3\) 余り、\(5\) で割ると \(2\) 余る自然数 \(n\) を、\(35\) で割ったときの余りを求めよ。
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.177 章末問題A 8
数研出版｜新編数学A[104-904] p.166 章末問題A 7
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整数 \(x~,~y\) を用いて、自然数 \(n\) は \(7\) で割ると \(3\) 余るので、
\(n=7x+3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(5\) で割ると \(2\) 余るので、
\(n=5y+2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~7x+3&=&5y+2\\[3pt]~~~7x-5y&=&-1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=2~,~y=3\) は \(7x-5y=-1\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(7 \cdot 2-5 \cdot 3=-1~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~7x-5y&=&-1\\-~\big{)}~~~7 \cdot 2-5 \cdot 3&=&-1\\[3pt]\hline 7(x-2)-5(y-3)&=&0\end{eqnarray}\)
\(7(x-2)=5(y-3)\)
\(7\) と \(5\) は互いに素より、\(x-2\) は \(5\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x-2&=&5k\\[3pt]~~~x&=&5k+2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&7 \cdot (5k+2)+3\\[3pt]~~~&=&35k+14+3\\[3pt]~~~&=&35k+17\end{eqnarray}\)
したがって、\(n\) を \(35\) で割ったときの余りは \(17\) となる
\(n=7x+3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(5\) で割ると \(2\) 余るので、
\(n=5y+2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~7x+3&=&5y+2\\[3pt]~~~7x-5y&=&-1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=2~,~y=3\) は \(7x-5y=-1\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(7 \cdot 2-5 \cdot 3=-1~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~7x-5y&=&-1\\-~\big{)}~~~7 \cdot 2-5 \cdot 3&=&-1\\[3pt]\hline 7(x-2)-5(y-3)&=&0\end{eqnarray}\)
\(7(x-2)=5(y-3)\)
\(7\) と \(5\) は互いに素より、\(x-2\) は \(5\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x-2&=&5k\\[3pt]~~~x&=&5k+2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&7 \cdot (5k+2)+3\\[3pt]~~~&=&35k+14+3\\[3pt]~~~&=&35k+17\end{eqnarray}\)
したがって、\(n\) を \(35\) で割ったときの余りは \(17\) となる
問題アーカイブ08
問題アーカイブ08\(3\) で割ると \(1\) 余り、\(5\) で割ると \(2\) 余るような \(2\) 桁の正の整数のうち、最大のものを求めよ。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.142 問題 7
東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.159 Level Up 11
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整数 \(x~,~y\) を用いて、\(2\) 桁の正の整数 \(n\) は \(3\) で割ると \(1\) 余るので、
\(n=3x+1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(5\) で割ると \(2\) 余るので、
\(n=5y+2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3x+1&=&5y+2\\[3pt]~~~3x-5y&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=2~,~y=1\) は \(3x-5y=1\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(3 \cdot 2-5 \cdot 1=1~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~3x-5y&=&1\\-~\big{)}~~~3 \cdot 2-5 \cdot 1&=&1\\[3pt]\hline 3(x-2)-5(y-1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(3(x-2)=5(y-1)\)
\(3\) と \(5\) は互いに素より、\(x-2\) は \(5\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x-2&=&5k\\[3pt]~~~x&=&5k+2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&3 \cdot (5k+2)+1\\[3pt]~~~&=&15k+6+1\\[3pt]~~~&=&15k+7\end{eqnarray}\)
\(2\) 桁の正の整数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~15k+7&{\small ~≦~}&99\\[3pt]~~~15k&{\small ~≦~}&92\\[3pt]~~~k&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,92\,}{\,15\,}=6.1\cdots\end{eqnarray}\)
これを満たす最大の \(k\) は \(k=6\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&15 \cdot 6+7\\[3pt]~~~&=&90+7\\[3pt]~~~&=&97\end{eqnarray}\)
したがって、\(2\) 桁で最大の正の整数 \(n\) は \(97\) となる
\(n=3x+1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(5\) で割ると \(2\) 余るので、
\(n=5y+2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3x+1&=&5y+2\\[3pt]~~~3x-5y&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=2~,~y=1\) は \(3x-5y=1\) の整数解の \(1\) つであるので、
\(3 \cdot 2-5 \cdot 1=1~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~3x-5y&=&1\\-~\big{)}~~~3 \cdot 2-5 \cdot 1&=&1\\[3pt]\hline 3(x-2)-5(y-1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(3(x-2)=5(y-1)\)
\(3\) と \(5\) は互いに素より、\(x-2\) は \(5\) の倍数となるので、
整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x-2&=&5k\\[3pt]~~~x&=&5k+2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&3 \cdot (5k+2)+1\\[3pt]~~~&=&15k+6+1\\[3pt]~~~&=&15k+7\end{eqnarray}\)
\(2\) 桁の正の整数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~15k+7&{\small ~≦~}&99\\[3pt]~~~15k&{\small ~≦~}&92\\[3pt]~~~k&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,92\,}{\,15\,}=6.1\cdots\end{eqnarray}\)
これを満たす最大の \(k\) は \(k=6\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&15 \cdot 6+7\\[3pt]~~~&=&90+7\\[3pt]~~~&=&97\end{eqnarray}\)
したがって、\(2\) 桁で最大の正の整数 \(n\) は \(97\) となる
