- 数学A｜整数の性質「n進法の数を10進法で表す」の基本例題解説ページです。
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問題｜n進法の数を10進法で表す
整数の性質 34\(10101_{(2)}~,~\)\(12102_{(3)}~,~\)\(1234_{(5)}\) をそれぞれ \(10\) 進法で表す方法は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
n進法の数を10進法で表す
Point：n進法の数を10進法で表す
① 各位の数を \(n^0~,~n^1~,~n^2~,~\cdots~,~n^k\) といった位の表でまとめる。
\(12102_{(3)}\) では、
\(\begin{array}{ccccc}万 & 千 & 百 & 十 & 一\\[3pt]\hline 1 & 2 & 1 & 0 & 2\\[1pt]3^4 & 3^3 & 3^2 & 3^1 & 3^0\end{array}\)
② 各位の数 \({\, \small \times \,}\) \(n^k\) の和が \(10\) 進法で表した数となる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&1 \cdot 3^4+2 \cdot 3^3+1 \cdot 3^2+0 \cdot 3^1+2 \cdot 3^0\\[3pt]~~~&=&146\end{eqnarray}\)
\(n\) 進法で表された数を \(10\) 進法で表す方法は、
① 各位の数を \(n^0~,~n^1~,~n^2~,~\cdots~,~n^k\) といった位の表でまとめる。
\(12102_{(3)}\) では、
\(\begin{array}{ccccc}万 & 千 & 百 & 十 & 一\\[3pt]\hline 1 & 2 & 1 & 0 & 2\\[1pt]3^4 & 3^3 & 3^2 & 3^1 & 3^0\end{array}\)
② 各位の数 \({\, \small \times \,}\) \(n^k\) の和が \(10\) 進法で表した数となる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&1 \cdot 3^4+2 \cdot 3^3+1 \cdot 3^2+0 \cdot 3^1+2 \cdot 3^0\\[3pt]~~~&=&146\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜n進法の数を10進法で表す
整数の性質 34\(10101_{(2)}~,~\)\(12102_{(3)}~,~\)\(1234_{(5)}\) をそれぞれ \(10\) 進法で表す方法は？
高校数学A｜整数の性質
\(10101_{(2)}\) について、\(2^0\) の位から \(2^4\) の位まで並べると、
\(\begin{array}{ccccc}万 & 千 & 百 & 十 & 一\\[3pt]\hline1 & 0 & 1 & 0 & 1\\[1pt]2^4 & 2^3 & 2^2 & 2^1 & 2^0\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1 \cdot 2^4+0 \cdot 2^3+1 \cdot 2^2+0 \cdot 2^1+1 \cdot 2^0\\[3pt]~~~&=&16+0+4+0+1\\[3pt]~~~&=&21\end{eqnarray}\)
したがって、\(10\) 進法で \(21\) となる
\(12102_{(3)}\) について、\(3^0\) の位から \(3^4\) の位まで並べると、
\(\begin{array}{ccccc}万 & 千 & 百 & 十 & 一\\[3pt]\hline1 & 2 & 1 & 0 & 2\\[1pt]3^4 & 3^3 & 3^2 & 3^1 & 3^0\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1 \cdot 3^4+2 \cdot 3^3+1 \cdot 3^2+0 \cdot 3^1+2 \cdot 3^0\\[3pt]~~~&=&81+2 \cdot 27+9+2\\[3pt]~~~&=&81+54+9+2\\[3pt]~~~&=&146\end{eqnarray}\)
したがって、\(10\) 進法で \(146\) となる
\(1234_{(5)}\) について、\(5^0\) の位から \(5^3\) の位まで並べると、
\(\begin{array}{cccc}千 & 百 & 十 & 一\\[3pt]\hline1 & 2 & 3 & 4\\[1pt]5^3 & 5^2 & 5^1 & 5^0\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1 \cdot 5^3+2 \cdot 5^2+3 \cdot 5^1+4 \cdot 5^0\\[3pt]~~~&=&125+50+15+4\\[3pt]~~~&=&194\end{eqnarray}\)
したがって、\(10\) 進法で \(194\) となる
