【新課程】数研出版：高等学校数学Ⅲ[709]

p.25 練習1$${\small (1)}~1$$$${\small (2)}~0$$$${\small (3)}~-1$$

p.26 練習2$${\small (1)}~\infty$$$${\small (2)}~0$$$${\small (3)}~-\infty$$\({\small (4)}~\)ない

p.24 練習31$${\small (1)}~3$$$${\small (2)}~-1$$$${\small (3)}~0$$$${\small (4)}~-2$$$${\small (5)}~3$$$${\small (6)}~-3$$

p.28 練習4$${\small (1)}~\infty$$$${\small (2)}~-\infty$$$${\small (3)}~-\infty$$$${\small (4)}~\frac{\,2\,}{\,3\,}$$$${\small (5)}~0$$$${\small (6)}~\infty$$

p.29 練習5$${\small (1)}~0$$$${\small (2)}~-\frac{\,1\,}{\,2\,}$$

p.30 練習6$$~~~0$$

p.32 練習7\({\small (1)}~\infty\)
\({\small (2)}~0\)
\({\small (3)}~\)振動し、極限はない
\({\small (4)}~0\)

p.32 練習8$$~~~0< x ≦ 2$$\(0< x < 2\) のとき、極限値 \(0\)
\(x=2\) のとき、極限値 \(1\)

p.33 練習9$${\small (1)}~1$$$${\small (2)}~\infty$$$${\small (3)}~0$$

p.33 練習10$${\small (1)}~-1$$$${\small (2)}~0$$$${\small (3)}~1$$$${\small (4)}~-1$$

p.34 練習11$$~~~\frac{\,3\,}{\,4\,}$$

p.36 練習12\({\small (1)}~\)収束し、和は \({\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\)
\({\small (2)}~\)発散する

p.38 練習13\({\small (1)}~\)収束し、和は \(2\)
\({\small (2)}~\)発散する
\({\small (3)}~\)収束し、和は \({\large \frac{\,3\,}{\,4\,}}\)
\({\small (4)}~\)収束し、和は \({\large \frac{\,4+3\sqrt{2}\,}{\,2\,}}\)

p.38 練習14$${\small (1)}~1< x < 3$$$${\small (2)}~x=0~,~1< x < 3$$

p.39 練習15$$~~~\frac{\,4\,}{\,5\,}$$

p.40 練習16$${\small (1)}~\frac{\,2\,}{\,3\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,116\,}{\,495\,}$$$${\small (3)}~\frac{\,87\,}{\,185\,}$$

p.41 練習17$${\small (1)}~\frac{\,4\,}{\,3\,}$$$${\small (2)}~-2$$

p.42 練習18[証明] この無限級数の第 \(n\) 項は、
　\(a_n=(-1)^{n-1}\cdot (2n-1)\)
\(n\to \infty\) で振動して極限はない
これより、\(0\) に収束しないので、この無限級数は発散する [終]

p.43 問題 6\({\small (1)}~\)偽、反例は \(a_n=n~,~b_n={\large \frac{\,1\,}{\,n\,}}\)
\({\small (2)}~\)真
[証明]$$\begin{split}&\lim_{n\to\infty}b_n\\[2pt]~~=~&\lim_{n\to\infty}\{a_n-(a_n-b_n)\}\\[2pt]~~=~&\alpha-0\\[2pt]~~=~&\alpha\end{split}$$したがって、$$~~~\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha$$[終]

p.46 練習19$${\small (1)}~-2$$$${\small (2)}~0$$$${\small (3)}~-\frac{\,1\,}{\,3\,}$$$${\small (4)}~\sqrt{2}$$

p.47 練習20$${\small (1)}~-6$$$${\small (2)}~-3$$$${\small (3)}~\frac{\,1\,}{\,a^2\,}$$

p.47 練習21$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,4\,}$$$${\small (2)}~4$$

p.48 練習22$${\small (1)}~a=-2\sqrt{2}~,~b=4$$$${\small (2)}~a=4~,~b=-8$$

p.49 練習23$${\small (1)}~\infty$$$${\small (2)}~-\infty$$

p.51 練習24$${\small (1)}~1$$$${\small (2)}~-1$$$${\small (3)}~2$$$${\small (4)}~-2$$

p.51 練習25$${\small (1)}~\infty$$$${\small (2)}~-\infty$$

p.53 練習26$${\small (1)}~0$$$${\small (2)}~0$$$${\small (3)}~\infty$$$${\small (4)}~\infty$$

p.53 練習27$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,5\,}{\,2\,}$$$${\small (3)}~-\infty$$$${\small (4)}~0$$

p.54 練習28$${\small (1)}~1$$$${\small (2)}~-\frac{\,1\,}{\,2\,}$$

p.55 練習29$${\small (1)}~0$$$${\small (2)}~0$$$${\small (3)}~\infty$$$${\small (4)}~\infty$$

p.55 練習30$${\small (1)}~0$$$${\small (2)}~\infty$$$${\small (3)}~2$$

p.56 練習31$${\small (1)}~0$$$${\small (2)}~1$$$${\small (3)}~0$$

p.57 練習32$${\small (1)}~0$$$${\small (2)}~0$$$${\small (3)}~0$$

p.59 練習33$${\small (1)}~\frac{\,2\,}{\,3\,}$$$${\small (2)}~1$$$${\small (3)}~\frac{\,3\,}{\,5\,}$$

p.59 練習34$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}$$$${\small (2)}~-2$$

p.60 練習35$$~~~\frac{\,1\,}{\,8\,}$$

p.63 練習36\({\small (1)}~\)連続
\({\small (2)}~\)不連続
\({\small (3)}~\)連続

p.64 練習37$${\small (1)}~(-\infty~,~1]$$$${\small (2)}~(-\infty~,~1)~,~(1~,~2)~,~(2~,~\infty)$$

p.64 練習38\({\small (1)}~\)\(x=0\) で最大値 \(1\)、\(x=\pi\) で最小値 \(-1\)
\({\small (2)}~\)\(x=0\) で最大値 \(1\)
　\(x=\pi~,~-\pi\) で最小値 \(-1\)

p.65 練習39[証明] \(f(x)=2^x-3x\) とおくと、閉区間 \([3~,~4]\) で連続であり、$$~~~f(3)=-1< 0$$$$~~~f(4)=4> 0$$これより、\(f(x)=0\) は \(3< x< 4\) の範囲に少なくとも１つの実数解をもつ [終]

p.66 問題 14[証明] \(f(x)=x^3-3x+1\) とおくと、閉区間 \([-2~,~0]\) で連続であり、$$~~~f(-2)=-1< 0$$$$~~~f(0)=1> 0$$これより、\(f(x)=0\) は \(-2< x< 0\) の範囲に少なくとも１つの実数解をもつ
したがって、この方程式は負の解をもつ [終]

p.67 章末問題Ａ 2\({\small (1)}~\)[証明] 二項定理より、$$\begin{eqnarray}~~~2^n&=&(1+1)^n
\\[2pt]~~~&=&{}_{ n } {\rm C}_{ 0 }+{}_{ n } {\rm C}_{ 1 }+{}_{ n } {\rm C}_{ 2 }+\cdots+{}_{ n } {\rm C}_{ n }
\\[2pt]~~~&≧&{}_{ n } {\rm C}_{ 0 }+{}_{ n } {\rm C}_{ 1 }+{}_{ n } {\rm C}_{ 2 }
\\[3pt]~~~&=&1+n+\frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}$$したがって、$$~~~2^n≧1+n+\frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}$$[終]
 
\({\small (2)}~0\)

p.67 章末問題Ａ 6[証明] \(f(x)=\log_{2}x+{\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}x-1\) とおくと、閉区間 \([1~,~2]\) で連続であり、$$~~~f(1)=-\frac{\,1\,}{\,2\,}< 0$$$$~~~f(2)=1> 0$$これより、\(f(x)=0\) は \(1< x< 2\) の範囲に少なくとも１つの実数解をもつ [終]

p.68 章末問題Ｂ 7\({\small (1)}~\)[証明]$$~~~a_n=\frac{\,2^{n-1}+2\,}{\,2^{n-1}+1\,}~~~\cdots{\large ①}$$\({\small [1]}~\)\(n=1\) のとき、①より、$$~~~\frac{\,2^0+2\,}{\,2^0+1\,}=\frac{\,3\,}{\,2\,}$$よって、\(n=1\) のとき、①は成り立つ
\({\small [2]}~\)\(n=k\) のとき、①が成り立つと仮定すると、$$~~~a_k=\frac{\,2^{k-1}+2\,}{\,2^{k-1}+1\,}$$が成り立つ
これより、$$\begin{eqnarray}~~~a_{k+1}&=&\frac{\,2\,}{\,3-a_k\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,2\,}{\,3-\frac{\,2^{k-1}+2\,}{\,2^{k-1}+1\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,2^k+2\,}{\,2^k+1\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,2^{(k+1)-1}+2\,}{\,2^{(k+1)-1}+1\,}\end{eqnarray}$$よって、\(n=k+1\) のときも①が成り立つ
\({\small [1]}\) と \({\small [2]}\) より、すべての自然数 \(n\) について①は成り立つ [終]
$${\small (2)}~1$$

p.68 章末問題Ｂ 11\({\small (1)}~\)[証明] 初項 \(x^2\)、公比 \({\large \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}}\) の無限等比級数である
\({\small [1]}~\)\(x=0\) のとき、
初項が \(0\) となり、この無限等比級数は \(0\) に収束
\({\small [2]}~\)\(x\neq 0\) のとき、$$~~~0< \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,} < 1$$であるのでこの無限等比級数は収束し、$$~~~\frac{\,x^2\,}{\,1-\frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\,}=x^2+1$$したがって、この無限級数はすべての実数 \(x\) で収束する [終]
\({\small (2)}~\)

\({\small (3)}~x=0\)