このページは、数研出版：高等学校数学Ⅲ[709]
第３章 微分法
第３章 微分法
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高等学校数学Ⅲ 第１章 関数
高等学校数学Ⅲ 第２章 極限
高等学校数学Ⅲ 第３章 微分法
高等学校数学Ⅲ 第４章 微分法の応用
高等学校数学Ⅲ 第５章 積分法とその応用
目次
第３章 微分法
第１節 導関数
p.70 練習1\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,h\,}\left\{ \displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+h\,} -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,} \right\}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1+h\,}\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜接線の傾きと微分係数の定義
解法のPoint｜接線の傾きと微分係数の定義
p.72 練習2\(x=1\) での微分可能について、
\(x=1\) における平均変化率を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,(1+h)^2-1\,|-|\,1^2-1\,|\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,1+2h+h^2-1\,|-0\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,h^2+2h\,|\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,h(h+2)\,|\,}{\,h\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(h\) は \(0\) に近い値なので \(h+2\gt 0\) として、\(h\) の符号で場合分けすると、
\(h\gt 0\) のとき、\(|\,h(h+2)\,|=h(h+2)\)
\(-2\lt h\lt 0\) のとき、\(|\,h(h+2)\,|=-h(h+2)\)
これより、右側極限を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to +0}\displaystyle \frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to +0}\displaystyle \frac{\,h(h+2)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to +0}(h+2)
\\[5pt]~~~&=&0+2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
また、左側極限を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to -0}\displaystyle \frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to -0}\displaystyle \frac{\,-h(h+2)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to -0}\{-(h+2)\}
\\[5pt]~~~&=&-(0+2)
\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
よって、右側極限と左側極限が一致しないので、微分係数 \(f^{\prime}(1)\) は存在しない
したがって、\(f(x)=|\,x^2-1\,|\) は \(x=1\) で微分可能でない
解法のPoint｜関数の連続と微分可能
\(x=1\) における平均変化率を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,(1+h)^2-1\,|-|\,1^2-1\,|\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,1+2h+h^2-1\,|-0\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,h^2+2h\,|\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,h(h+2)\,|\,}{\,h\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(h\) は \(0\) に近い値なので \(h+2\gt 0\) として、\(h\) の符号で場合分けすると、
\(h\gt 0\) のとき、\(|\,h(h+2)\,|=h(h+2)\)
\(-2\lt h\lt 0\) のとき、\(|\,h(h+2)\,|=-h(h+2)\)
これより、右側極限を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to +0}\displaystyle \frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to +0}\displaystyle \frac{\,h(h+2)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to +0}(h+2)
\\[5pt]~~~&=&0+2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
また、左側極限を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to -0}\displaystyle \frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to -0}\displaystyle \frac{\,-h(h+2)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to -0}\{-(h+2)\}
\\[5pt]~~~&=&-(0+2)
\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
よって、右側極限と左側極限が一致しないので、微分係数 \(f^{\prime}(1)\) は存在しない
したがって、\(f(x)=|\,x^2-1\,|\) は \(x=1\) で微分可能でない
解法のPoint｜関数の連続と微分可能
p.73 練習3\({\small (1)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,h\,}\left\{ \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2(x+h)\,} -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2x\,} \right\}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,2x(x+h)\,}\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2x^2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,\sqrt{x+h}-\sqrt{x}\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,x+h-x\,}{\,h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{x}\,}\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜定義に従った導関数
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,h\,}\left\{ \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2(x+h)\,} -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2x\,} \right\}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,2x(x+h)\,}\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2x^2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,\sqrt{x+h}-\sqrt{x}\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,x+h-x\,}{\,h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{x}\,}\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜定義に従った導関数
p.75 練習4\({\small [\,2\,]}~\)\(\{f(x)+g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\) について
導関数の定義より、
ここで、\(f(x)~,~g(x)\) は微分可能であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}&=&f^{\prime}(x)
\\[5pt]~~~\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}&=&g^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\{f(x)+g(x)\}^{\prime}&=&f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
したがって、\(\{f(x)+g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\) が成り立つ
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
導関数の定義より、
\(\begin{eqnarray}~~~\{f(x)+g(x)\}^{\prime}&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\{f(x+h)+g(x+h)\}-\{f(x)+g(x)\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}+\displaystyle \frac{\,g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}\,\right\}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}+\displaystyle \frac{\,g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}\,\right\}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(f(x)~,~g(x)\) は微分可能であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}&=&f^{\prime}(x)
\\[5pt]~~~\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}&=&g^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\{f(x)+g(x)\}^{\prime}&=&f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
したがって、\(\{f(x)+g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\) が成り立つ
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
p.75 練習5\({\small (1)}~y^{\prime}=5x^4+8x^3\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=18x^5-12x^2\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=4x^3+3x^2-8x-4\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=12x^3+9x^2+2x-2\)
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=18x^5-12x^2\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=4x^3+3x^2-8x-4\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=12x^3+9x^2+2x-2\)
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
p.76 練習6[証明] 関数 \(f(x)~,~g(x)\) がともに微分可能であるとき、積の導関数より、
解法のPoint｜商の導関数
\(\begin{eqnarray}~~~\left\{ \displaystyle \frac{\,f(x)\,}{\,g(x)\,} \right\}^{\prime}&=&\left\{ f(x)\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,g(x)\,} \right\}^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&f^{\prime}(x)\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,g(x)\,}+f(x)\left\{ \displaystyle \frac{\,1\,}{\,g(x)\,} \right\}^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,f^{\prime}(x)\,}{\,g(x)\,}+f(x)\left\{ -\displaystyle \frac{\,g^{\prime}(x)\,}{\,\{g(x)\}^2\,} \right\}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)\,}{\,\{g(x)\}^2\,}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&f^{\prime}(x)\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,g(x)\,}+f(x)\left\{ \displaystyle \frac{\,1\,}{\,g(x)\,} \right\}^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,f^{\prime}(x)\,}{\,g(x)\,}+f(x)\left\{ -\displaystyle \frac{\,g^{\prime}(x)\,}{\,\{g(x)\}^2\,} \right\}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)\,}{\,\{g(x)\}^2\,}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
[終]
解法のPoint｜商の導関数
p.77 練習7\({\small (1)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,(2x-3)^2\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,x^2+2\,}{\,(x^2-2)^2\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,-2x^2+2x+2\,}{\,(x^2+1)^2\,}\)
解法のPoint｜商の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,x^2+2\,}{\,(x^2-2)^2\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,-2x^2+2x+2\,}{\,(x^2+1)^2\,}\)
解法のPoint｜商の導関数
p.77 練習8\({\small (1)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,x^3\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^4\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは整数)の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,x^3\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^4\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは整数)の導関数
p.79 練習9\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=12(3x+1)^3\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,(4x+3)^2\,}\)
解法のPoint｜合成関数の微分
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,(4x+3)^2\,}\)
解法のPoint｜合成関数の微分
p.79 練習10\({\small (1)}~\)[証明] \(u=ax+b\) とすると、
\(~~~\displaystyle \frac{\,df(u)\,}{\,du\,}=f^{\prime}(u)~,~\displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=a\)
これより、
\(~~~\displaystyle \frac{\,df(u)\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,df(u)\,}{\,du\,}\cdot \displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=af^{\prime}(u)\)
したがって、
\(~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}f(ax+b)=af^{\prime}(ax+b)\) [終]
\(~~~\displaystyle \frac{\,du^n\,}{\,du\,}=nu^{n-1}~,~\displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=u^{\prime}\)
これより、
\(~~~\displaystyle \frac{\,du^n\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,du^n\,}{\,du\,}\cdot\displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=nu^{n-1}\cdot u^{\prime}\)
したがって、
\(~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\{ g(x) \}^n=n\{ g(x) \}^{n-1}\cdot g^{\prime}(x)\) [終]
解法のPoint｜合成関数の微分
\(~~~\displaystyle \frac{\,df(u)\,}{\,du\,}=f^{\prime}(u)~,~\displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=a\)
これより、
\(~~~\displaystyle \frac{\,df(u)\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,df(u)\,}{\,du\,}\cdot \displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=af^{\prime}(u)\)
したがって、
\(~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}f(ax+b)=af^{\prime}(ax+b)\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(u=g(x)\) とすると、
\(~~~\displaystyle \frac{\,du^n\,}{\,du\,}=nu^{n-1}~,~\displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=u^{\prime}\)
これより、
\(~~~\displaystyle \frac{\,du^n\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,du^n\,}{\,du\,}\cdot\displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=nu^{n-1}\cdot u^{\prime}\)
したがって、
\(~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\{ g(x) \}^n=n\{ g(x) \}^{n-1}\cdot g^{\prime}(x)\) [終]
解法のPoint｜合成関数の微分
p.79 練習11\({\small (1)}~y^{\prime}=16x(2x^2+5)^3\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=-12x(1-2x^2)^2\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,6x\,}{\,(x^2+1)^4\,}\)
解法のPoint｜合成関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=-12x(1-2x^2)^2\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,6x\,}{\,(x^2+1)^4\,}\)
解法のPoint｜合成関数の微分
p.81 練習12\(~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\sqrt[6]{x^5}\,}\)
解法のPoint｜逆関数の微分法
解法のPoint｜逆関数の微分法
p.82 練習13\({\small (1)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{x}\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\sqrt[3]{x}\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2x\sqrt{x}\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは有理数)の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\sqrt[3]{x}\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2x\sqrt{x}\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは有理数)の導関数
p.82 練習14\({\small (1)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\sqrt[3]{x+1}\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{4-x^2}\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは有理数)の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{4-x^2}\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは有理数)の導関数
問題
p.83 問題 1\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,\sqrt{(x+h)+1}-\sqrt{x+1}\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,(x+h+1)-(x+1)\,}{\,h(\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1})\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1}\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{x+1}\,}\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜定義に従った導関数
解法のPoint｜定義に従った導関数
p.83 問題 2\({\small (1)}~y^{\prime}=-10x^4+6x^2-10x\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=30x^4+4x^3-3x^2+4\)
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=30x^4+4x^3-3x^2+4\)
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
p.83 問題 3[証明] \(f(x)g(x)\) を \(1\) つの関数とみると、
積の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{f(x)g(x)h(x)\}^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\left[\,\{f(x)g(x)\}h(x)\,\right]^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\{f(x)g(x)\}^{\prime}h(x)+\{f(x)g(x)\}h^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
ここで、\(\{f(x)g(x)\}^{\prime}\) に積の導関数の公式を使うと、
したがって、
が成り立つ [終]
\(y^{\prime}=12x^3+6x^2-10x+2\)
解法のPoint｜3つの関数の積の導関数
積の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{f(x)g(x)h(x)\}^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\left[\,\{f(x)g(x)\}h(x)\,\right]^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\{f(x)g(x)\}^{\prime}h(x)+\{f(x)g(x)\}h^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
ここで、\(\{f(x)g(x)\}^{\prime}\) に積の導関数の公式を使うと、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\}h(x)+f(x)g(x)h^{\prime}(x)
\\[3pt]~~~&=&f^{\prime}(x)g(x)h(x)+f(x)g^{\prime}(x)h(x)+f(x)g(x)h^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&f^{\prime}(x)g(x)h(x)+f(x)g^{\prime}(x)h(x)+f(x)g(x)h^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{f(x)g(x)h(x)\}^{\prime}\\[3pt]~~~&=&f^{\prime}(x)g(x)h(x)+f(x)g^{\prime}(x)h(x)+f(x)g(x)h^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
が成り立つ [終]
\(y^{\prime}=12x^3+6x^2-10x+2\)
解法のPoint｜3つの関数の積の導関数
p.83 問題 4\({\small (1)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,(x^2-1)^2\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,x^2+2x-11\,}{\,(x+1)^2\,}\)
解法のPoint｜商の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,x^2+2x-11\,}{\,(x+1)^2\,}\)
解法のPoint｜商の導関数
p.83 問題 5\({\small (1)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x^2\,}\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=3\left(x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^2\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\right)\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=(x+2)^2(2x-1)^3(14x+13)\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,(x-1)^3\,}\)
解法のPoint｜合成関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=3\left(x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^2\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\right)\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=(x+2)^2(2x-1)^3(14x+13)\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,(x-1)^3\,}\)
解法のPoint｜合成関数の微分
p.83 問題 6\({\small (1)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,3\sqrt[3]{\,(x^2+x+1)^2\,}\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,(1-x^2)\sqrt{\,1-x^2\,}\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは有理数)の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,(1-x^2)\sqrt{\,1-x^2\,}\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは有理数)の導関数
第２節 いろいろな関数の導関数
p.84 練習15[証明]
\(~~~(\cos{x})^{\prime}=\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos{(x+h)}-\cos{x}\,}{\,h\,}\)
\(\cos{(x+h)}\) は加法定理を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos{x}\cos{h}-\sin{x}\sin{h}-\cos{x}\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h \to 0}\left\{\displaystyle \frac{\,\cos{h}-1\,}{\,h\,}\cos{x}-\displaystyle \frac{\,\sin{h}\,}{\,h\,}\sin{x}\right\}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(~~~\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin{h}\,}{\,h\,}=1\)
また、
\(\begin{split}&\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos{h}-1\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos^2{h}-1\,}{\,h(\cos{h}+1)\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,-\sin^2{h}\,}{\,h(\cos{h}+1)\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\left(-\displaystyle \frac{\,\sin{h}\,}{\,h\,}\cdot \displaystyle \frac{\,\sin{h}\,}{\,\cos{h}+1\,}\right)\\[3pt]~~=~&-1\cdot\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1+1\,}=0\end{split}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~(\cos{x})^{\prime}&=&0\cdot \cos{x}-1 \sin{x}\\[2pt]~~~&=&-\sin{x}\end{eqnarray}\) [終]
解法のPoint｜三角関数の微分
\(~~~(\cos{x})^{\prime}=\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos{(x+h)}-\cos{x}\,}{\,h\,}\)
\(\cos{(x+h)}\) は加法定理を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos{x}\cos{h}-\sin{x}\sin{h}-\cos{x}\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h \to 0}\left\{\displaystyle \frac{\,\cos{h}-1\,}{\,h\,}\cos{x}-\displaystyle \frac{\,\sin{h}\,}{\,h\,}\sin{x}\right\}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(~~~\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin{h}\,}{\,h\,}=1\)
また、
\(\begin{split}&\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos{h}-1\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos^2{h}-1\,}{\,h(\cos{h}+1)\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,-\sin^2{h}\,}{\,h(\cos{h}+1)\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\left(-\displaystyle \frac{\,\sin{h}\,}{\,h\,}\cdot \displaystyle \frac{\,\sin{h}\,}{\,\cos{h}+1\,}\right)\\[3pt]~~=~&-1\cdot\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1+1\,}=0\end{split}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~(\cos{x})^{\prime}&=&0\cdot \cos{x}-1 \sin{x}\\[2pt]~~~&=&-\sin{x}\end{eqnarray}\) [終]
解法のPoint｜三角関数の微分
p.85 練習16\({\small (1)}~y^{\prime}=-2\sin{2x}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=3\sqrt{2}\cos{\left(3x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \right)}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=2\sin{x}\cos{x}=\sin{2x}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2\tan{x}\,}{\,\cos^2{x}\,}\)
\({\small (5)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,\cos{x}\,}{\,\sin^2{x}\,}\)
\({\small (6)}~y^{\prime}=-6\sin{3x}\cos{3x}=-3\sin{6x}\)
解法のPoint｜三角関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=3\sqrt{2}\cos{\left(3x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \right)}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=2\sin{x}\cos{x}=\sin{2x}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2\tan{x}\,}{\,\cos^2{x}\,}\)
\({\small (5)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,\cos{x}\,}{\,\sin^2{x}\,}\)
\({\small (6)}~y^{\prime}=-6\sin{3x}\cos{3x}=-3\sin{6x}\)
解法のPoint｜三角関数の微分
p.85 練習17\({\small (1)}~y^{\prime}=x\cos{x}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=-x\sin{x}\)
解法のPoint｜三角関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=-x\sin{x}\)
解法のPoint｜三角関数の微分
p.87 練習18\({\small (1)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,(4x-1)\log_{}2\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,x^2+1\,}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=\log_{}x\)
解法のPoint｜対数関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,(4x-1)\log_{}2\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,x^2+1\,}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=\log_{}x\)
解法のPoint｜対数関数の微分
p.88 練習19[証明] 底の変換公式より、
\(~~~\log_{a}|x|=\displaystyle \frac{\,\log_{e}|x|\,}{\,\log_{e}a\,}=\displaystyle \frac{\,\log_{}|x|\,}{\,\log_{}a\,}\)
これより、
\(\begin{split}&(\log_{a}|x|)^{\prime}\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_{}a\,}\cdot (\log_{}|x|)^{\prime}\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_{}a\,}\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\log_{}a\,}\end{split}\)
[終]
解法のPoint｜対数関数の微分
\(~~~\log_{a}|x|=\displaystyle \frac{\,\log_{e}|x|\,}{\,\log_{e}a\,}=\displaystyle \frac{\,\log_{}|x|\,}{\,\log_{}a\,}\)
これより、
\(\begin{split}&(\log_{a}|x|)^{\prime}\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_{}a\,}\cdot (\log_{}|x|)^{\prime}\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_{}a\,}\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\log_{}a\,}\end{split}\)
[終]
解法のPoint｜対数関数の微分
p.88 練習20\({\small (1)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3x+2\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,\cos{x}\,}{\,\sin{x}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{x}\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,(x^2-4)\log_{}2\,}\)
解法のPoint｜対数関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,\cos{x}\,}{\,\sin{x}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{x}\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,(x^2-4)\log_{}2\,}\)
解法のPoint｜対数関数の微分
p.89 練習21\({\small (1)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,6(x+1)^2\,}{\,(x-1)^2(x+2)^3\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,x+3\,}{\,2(x+1)^2\sqrt{x+2}\,}\)
解法のPoint｜対数微分法
\({\small (2)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,x+3\,}{\,2(x+1)^2\sqrt{x+2}\,}\)
解法のPoint｜対数微分法
p.89 練習22[証明] \(x^\alpha \gt 0\) より、\(y=x^\alpha\) に両辺に自然対数をとると、
\(~~~\log_{}y=\alpha \log_{}x\)
両辺を \(x\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y^{\prime}\,}{\,y\,}&=&\alpha \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\\[3pt]~~~y^{\prime}&=&\alpha \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,} \cdot y\\[3pt]~~~y^{\prime}&=&\alpha \cdot \displaystyle \frac{\,x^\alpha\,}{\,x\,}\\[3pt]~~~y^{\prime}&=&\alpha x^{\alpha -1}\end{eqnarray}\)
[終]
解法のPoint｜xⁿ(nは実数)の導関数
\(~~~\log_{}y=\alpha \log_{}x\)
両辺を \(x\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y^{\prime}\,}{\,y\,}&=&\alpha \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\\[3pt]~~~y^{\prime}&=&\alpha \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,} \cdot y\\[3pt]~~~y^{\prime}&=&\alpha \cdot \displaystyle \frac{\,x^\alpha\,}{\,x\,}\\[3pt]~~~y^{\prime}&=&\alpha x^{\alpha -1}\end{eqnarray}\)
[終]
解法のPoint｜xⁿ(nは実数)の導関数
p.90 練習23\({\small (1)}~y^{\prime}=2e^{2x}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=-2xe^{-x^2}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=3^{x}\log_{}3\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=-3\cdot 2^{-3x}\log_{}2\)
\({\small (5)}~y^{\prime}=(1+x)e^{x}\)
\({\small (6)}~y^{\prime}=a^{x}\{ 2+(2x-1)\log_{}a \}\)
解法のPoint｜指数関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=-2xe^{-x^2}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=3^{x}\log_{}3\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=-3\cdot 2^{-3x}\log_{}2\)
\({\small (5)}~y^{\prime}=(1+x)e^{x}\)
\({\small (6)}~y^{\prime}=a^{x}\{ 2+(2x-1)\log_{}a \}\)
解法のPoint｜指数関数の微分
p.92 練習24\({\small (1)}~y^{\prime}=3x^2-2~,~y^{\prime\prime}=6x~,~y^{\prime\prime\prime}=6\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~y^{\prime\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x^3\,}~,~y^{\prime\prime\prime}=-\displaystyle \frac{\,6\,}{\,x^4\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=-\sin{x}~,~y^{\prime\prime}=-\cos{x}\)
\(~~~~~~~,~y^{\prime\prime\prime}=\sin{x}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~y^{\prime\prime}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~y^{\prime\prime\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x^3\,}\)
\({\small (5)}~y^{\prime}=e^x~,~y^{\prime\prime}=e^x~,~y^{\prime\prime\prime}=e^x\)
\({\small (6)}~y^{\prime}=-2e^{-2x}~,~y^{\prime\prime}=4e^{-2x}\)
\(~~~~~~~,~y^{\prime\prime\prime}=-8e^{-2x}\)
解法のPoint｜第2次導関数と第3次導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~y^{\prime\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x^3\,}~,~y^{\prime\prime\prime}=-\displaystyle \frac{\,6\,}{\,x^4\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=-\sin{x}~,~y^{\prime\prime}=-\cos{x}\)
\(~~~~~~~,~y^{\prime\prime\prime}=\sin{x}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~y^{\prime\prime}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~y^{\prime\prime\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x^3\,}\)
\({\small (5)}~y^{\prime}=e^x~,~y^{\prime\prime}=e^x~,~y^{\prime\prime\prime}=e^x\)
\({\small (6)}~y^{\prime}=-2e^{-2x}~,~y^{\prime\prime}=4e^{-2x}\)
\(~~~~~~~,~y^{\prime\prime\prime}=-8e^{-2x}\)
解法のPoint｜第2次導関数と第3次導関数
p.93 練習26\({\small (1)}~y=\pm \sqrt{-8x}\)
\({\small (2)}~\)[証明] \(y=\sqrt{-8x}\) の両辺を \(x\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot (-8x)^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}} \cdot (-8)\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{-8x}\,}\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
また、\(y=-\sqrt{-8x}\) の両辺を \(x\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot (-8x)^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}} \cdot (-8)\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,-\sqrt{-8x}\,}\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,y\,}\) [終]
解法のPoint｜x,yの方程式の導関数
\({\small (2)}~\)[証明] \(y=\sqrt{-8x}\) の両辺を \(x\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot (-8x)^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}} \cdot (-8)\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{-8x}\,}\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
また、\(y=-\sqrt{-8x}\) の両辺を \(x\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot (-8x)^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}} \cdot (-8)\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,-\sqrt{-8x}\,}\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,y\,}\) [終]
解法のPoint｜x,yの方程式の導関数
p.94 練習27\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\)
解法のPoint｜x,yの方程式の導関数
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\)
解法のPoint｜x,yの方程式の導関数
p.96 練習28\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2t\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,\cos{t}\,}{\,\sin{t}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{t}\,}\)
解法のPoint｜媒介変数表示された関数の導関数
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,\cos{t}\,}{\,\sin{t}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{t}\,}\)
解法のPoint｜媒介変数表示された関数の導関数
問題
p.97 問題 8\({\small (1)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,(1+\cos x)^2\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\sin 2x(1-4\sin^2 x)\)
解法のPoint｜三角関数の微分
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2\log x\,}{\,x\,}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(x+1)(x+2)\,}\)
解法のPoint｜対数関数の微分
\({\small (5)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,e^x\,}{\,(e^x+1)^2\,}\)
\({\small (6)}~y^{\prime}=2a^{2x+1}\log a\)
解法のPoint｜指数関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=\sin 2x(1-4\sin^2 x)\)
解法のPoint｜三角関数の微分
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2\log x\,}{\,x\,}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(x+1)(x+2)\,}\)
解法のPoint｜対数関数の微分
\({\small (5)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,e^x\,}{\,(e^x+1)^2\,}\)
\({\small (6)}~y^{\prime}=2a^{2x+1}\log a\)
解法のPoint｜指数関数の微分
p.97 問題 9[証明] \(u=x+\sqrt{x^2+a}\) とすると、
\(~~~\displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=1+\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,2\sqrt{x^2+a}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{x^2+a}+x\,}{\,\sqrt{x^2+a}\,}\)
また、\(y=\log_{}u\) となるので、
\(~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,du\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,u\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x+\sqrt{x^2+a}\,}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,du\,}\cdot\displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x+\sqrt{x^2+a}\,}\cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{x^2+a}+x\,}{\,\sqrt{x^2+a}\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{x^2+a}\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\log_{}(x+\sqrt{x^2+a})=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{x^2+a}\,}\) [終]
解法のPoint｜対数関数の微分
\(~~~\displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=1+\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,2\sqrt{x^2+a}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{x^2+a}+x\,}{\,\sqrt{x^2+a}\,}\)
また、\(y=\log_{}u\) となるので、
\(~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,du\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,u\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x+\sqrt{x^2+a}\,}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,du\,}\cdot\displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x+\sqrt{x^2+a}\,}\cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{x^2+a}+x\,}{\,\sqrt{x^2+a}\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{x^2+a}\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\log_{}(x+\sqrt{x^2+a})=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{x^2+a}\,}\) [終]
解法のPoint｜対数関数の微分
p.97 問題 10\({\small (1)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,8x(x^2-1)\,}{\,(x^2+1)^3\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,(7x+11)(x-1)\,}{\,3\sqrt[3]{\,(x+2)^2\,}\,}\)
解法のPoint｜対数微分法
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,(7x+11)(x-1)\,}{\,3\sqrt[3]{\,(x+2)^2\,}\,}\)
解法のPoint｜対数微分法
p.97 問題 11[証明] 関数 \(y=e^x(\sin x+\cos x)\) を微分すると、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
次に、\(y^{\prime}=2e^x\cos x\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&(2e^x)^{\prime}\cos x+2e^x(\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2e^x\cos x-2e^x\sin x
\\[3pt]~~~&=&2e^x(\cos x-\sin x)\end{eqnarray}\)
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
したがって、関数 \(y=e^x(\sin x+\cos x)\) は等式 \(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0\) を満たす [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(e^x)^{\prime}(\sin x+\cos x)+e^x(\sin x+\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&e^x\left\{\,(\sin x+\cos x)+(\cos x-\sin x)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&e^x(\sin x+\cos x+\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&2e^x\cos x\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&e^x\left\{\,(\sin x+\cos x)+(\cos x-\sin x)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&e^x(\sin x+\cos x+\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&2e^x\cos x\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
次に、\(y^{\prime}=2e^x\cos x\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&(2e^x)^{\prime}\cos x+2e^x(\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2e^x\cos x-2e^x\sin x
\\[3pt]~~~&=&2e^x(\cos x-\sin x)\end{eqnarray}\)
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y
\\[3pt]~~~&=&2e^x(\cos x-\sin x)-4e^x\cos x+2e^x(\sin x+\cos x)
\\[3pt]~~~&=&2e^x(\cos x-\sin x-2\cos x+\sin x+\cos x)
\\[3pt]~~~&=&2e^x \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2e^x(\cos x-\sin x)-4e^x\cos x+2e^x(\sin x+\cos x)
\\[3pt]~~~&=&2e^x(\cos x-\sin x-2\cos x+\sin x+\cos x)
\\[3pt]~~~&=&2e^x \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、関数 \(y=e^x(\sin x+\cos x)\) は等式 \(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0\) を満たす [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.97 問題 12 \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,x-1\,}{\,y\,}\)
解法のPoint｜x,yの方程式の導関数
解法のPoint｜x,yの方程式の導関数
p.97 問題 13\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin t\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,t^2+1\,}{\,t^2-1\,}\)
解法のPoint｜媒介変数表示された関数の導関数
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,t^2+1\,}{\,t^2-1\,}\)
解法のPoint｜媒介変数表示された関数の導関数
p.97 問題 14\({\small (1)}~\)定義域 \(-1\lt x\lt 1\) 、値域 \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt y\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}=\cos y\)
\({\small (3)}~f^{\prime}(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,1-x^2\,}\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}=\cos y\)
\({\small (3)}~f^{\prime}(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,1-x^2\,}\,}\)
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章末問題 微分法
p.98 章末問題A 1\(y=x\sqrt{x}=\sqrt{x^3}\) より、\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,\sqrt{(x+h)^3}-\sqrt{x^3}\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,(x+h)^3-x^3\,}{\,h(\sqrt{(x+h)^3}+\sqrt{x^3})\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,3x^2h+3xh^2+h^3\,}{\,h(\sqrt{(x+h)^3}+\sqrt{x^3})\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,3x^2+3xh+h^2\,}{\,\sqrt{(x+h)^3}+\sqrt{x^3}\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3x^2\,}{\,2\sqrt{x^3}\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\sqrt{\displaystyle \frac{\,x^4\,}{\,x^3\,}}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\sqrt{x}\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜定義に従った導関数
解法のPoint｜定義に従った導関数
p.98 章末問題A 2\({\small (1)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,3x^2+x-1\,}{\,2x\sqrt{\,x\,}\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは有理数)の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,2\sqrt{\,1+\cos x\,}\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,x\cos x-\sin x\,}{\,x^2\,}\)
解法のPoint｜三角関数の微分
\({\small (4)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2^{\log x}\log 2\,}{\,x\,}\)
解法のPoint｜指数関数の微分
解法のPoint｜xⁿ(nは有理数)の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,2\sqrt{\,1+\cos x\,}\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,x\cos x-\sin x\,}{\,x^2\,}\)
解法のPoint｜三角関数の微分
\({\small (4)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2^{\log x}\log 2\,}{\,x\,}\)
解法のPoint｜指数関数の微分
p.98 章末問題A 3[証明] 関数 \(f(x)g(x)\) を微分すると、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\{f(x)g(x)\}&=&f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
次に、\(\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\{f(x)g(x)\}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
したがって、
■ この問題の詳しい解説はこちら！
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\{f(x)g(x)\}&=&f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
次に、\(\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\{f(x)g(x)\}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d^2\,}{\,dx^2\,}\{f(x)g(x)\}&=&\{f^{\prime}(x)g(x)\}^{\prime}+\{f(x)g^{\prime}(x)\}^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\{f^{\prime\prime}(x)g(x)+f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)\}+\{f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f(x)g^{\prime\prime}(x)\}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime\prime}(x)g(x)+f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f(x)g^{\prime\prime}(x)
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime\prime}(x)g(x)+2f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f(x)g^{\prime\prime}(x)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\{f^{\prime\prime}(x)g(x)+f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)\}+\{f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f(x)g^{\prime\prime}(x)\}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime\prime}(x)g(x)+f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f(x)g^{\prime\prime}(x)
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime\prime}(x)g(x)+2f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f(x)g^{\prime\prime}(x)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,d^2\,}{\,dx^2\,}\{f(x)g(x)\}=f^{\prime\prime}(x)g(x)+2f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f(x)g^{\prime\prime}(x)\)
※ 数式は横にスクロールできます。
が成り立つ [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.98 章末問題A 4\({\small (1)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,x(x-2)\,}{\,(x-1)^2\,}~,~y^{\prime\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,(x-1)^3\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=-4xe^{-2x^2}~,~y^{\prime\prime}=4(4x^2-1)e^{-2x^2}\)
解法のPoint｜第2次導関数と第3次導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=-4xe^{-2x^2}~,~y^{\prime\prime}=4(4x^2-1)e^{-2x^2}\)
解法のPoint｜第2次導関数と第3次導関数
p.98 章末問題A 6[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(y^{(n)}=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
関数 \(y=\sin x\) を微分し、三角関数の公式 \(\cos x=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(\sin x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\cos x
\\[5pt]~~~&=&\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \({\small [\,1\,]}\) が成り立つと仮定すると、
\(y^{(k)}=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のとき、\({\small [\,2\,]}\) をさらに微分すると、
合成関数の導関数の公式より、
三角関数の公式 \(\cos\theta=\sin\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) で、\(\theta=x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\) とすると、
これは、\(n=k+1\) のときの \({\small [\,1\,]}\) の右辺となるので、\({\small [\,1\,]}\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
したがって、\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ [終]
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\(y^{(n)}=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
関数 \(y=\sin x\) を微分し、三角関数の公式 \(\cos x=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(\sin x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\cos x
\\[5pt]~~~&=&\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \({\small [\,1\,]}\) が成り立つと仮定すると、
\(y^{(k)}=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のとき、\({\small [\,2\,]}\) をさらに微分すると、
合成関数の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{(k+1)}&=&\left\{\,y^{(k)}\,\right\}^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\left\{\,\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)\,\right\}^{\prime} \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right) \cdot \left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right) \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left\{\,\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)\,\right\}^{\prime} \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right) \cdot \left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right) \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
三角関数の公式 \(\cos\theta=\sin\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) で、\(\theta=x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{y^{(k+1)}}&=&\sin\left\{\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right\}
\\[5pt]~~~&=&\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi+\pi\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin\left\{x+\displaystyle \frac{\,(k+1)\pi\,}{\,2\,}\right\}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi+\pi\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin\left\{x+\displaystyle \frac{\,(k+1)\pi\,}{\,2\,}\right\}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これは、\(n=k+1\) のときの \({\small [\,1\,]}\) の右辺となるので、\({\small [\,1\,]}\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
したがって、\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ [終]
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p.98 章末問題A 7\({\small (1)}~\)[証明]
方程式 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) について、
両辺を \(x\) で微分すると、
\(y^2\) は合成関数の微分と考えて \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) をつけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}\right)+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}\right)&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,b^2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,b^2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,}\end{eqnarray}\)
\(y \neq 0\) のとき、両辺に \(\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,2y\,}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,2y\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y \neq 0\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}\) となる
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
方程式 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) について、
両辺を \(x\) で微分すると、
\(y^2\) は合成関数の微分と考えて \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) をつけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}\right)-\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}\right)&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,b^2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,b^2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,}\end{eqnarray}\)
\(y \neq 0\) のとき、両辺に \(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,2y\,}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,} \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,2y\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y \neq 0\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}\) となる
[終]
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方程式 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) について、
両辺を \(x\) で微分すると、
\(y^2\) は合成関数の微分と考えて \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) をつけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}\right)+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}\right)&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,b^2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,b^2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,}\end{eqnarray}\)
\(y \neq 0\) のとき、両辺に \(\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,2y\,}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,2y\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y \neq 0\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}\) となる
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
方程式 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) について、
両辺を \(x\) で微分すると、
\(y^2\) は合成関数の微分と考えて \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) をつけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}\right)-\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}\right)&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,b^2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,b^2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,}\end{eqnarray}\)
\(y \neq 0\) のとき、両辺に \(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,2y\,}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,} \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,2y\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y \neq 0\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}\) となる
[終]
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p.99 章末問題B 8[証明]
\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}\) について、
分子に \(f(a+h)\) と \(f(a-h)\) があるので、\(f(a)\) を引いて加えて \(2\) つの式に分けると、
ここで、微分係数の定義より、
\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}=f^{\prime}(a)\)
また、\(-h=k\) とおくと、\(h \to 0\) のとき \(k \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{k \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+k)-f(a)\,}{\,k\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(a)+f^{\prime}(a)
\\[3pt]~~~&=&2f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}=2f^{\prime}(a)\) となる
[終]
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\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}\) について、
分子に \(f(a+h)\) と \(f(a-h)\) があるので、\(f(a)\) を引いて加えて \(2\) つの式に分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)-\left\{\,f(a-h)-f(a)\,\right\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}-\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,h\,}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)-\left\{\,f(a-h)-f(a)\,\right\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}-\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,h\,}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、微分係数の定義より、
\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}=f^{\prime}(a)\)
また、\(-h=k\) とおくと、\(h \to 0\) のとき \(k \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{k \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+k)-f(a)\,}{\,k\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(a)+f^{\prime}(a)
\\[3pt]~~~&=&2f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}=2f^{\prime}(a)\) となる
[終]
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p.99 章末問題B 10\({\small (1)}~e^2\)
\({\small (2)}~\sqrt{\,e\,}\)
\({\small (3)}~e^2\)
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\({\small (2)}~\sqrt{\,e\,}\)
\({\small (3)}~e^2\)
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p.99 章末問題B 11\({\small (1)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,(\cos x+\sin x)^2\,}\)
解法のPoint｜三角関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=x(\log x)^2(2\log x+3)\)
解法のPoint｜対数関数の微分
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,(e^x+e^{-x})^2\,}\)
解法のPoint｜指数関数の微分
解法のPoint｜三角関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=x(\log x)^2(2\log x+3)\)
解法のPoint｜対数関数の微分
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,(e^x+e^{-x})^2\,}\)
解法のPoint｜指数関数の微分
p.99 章末問題B 12\({\small (1)}~y^{\prime}=x^x(\log x+1)\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3(x+2)\sqrt[3]{\,(x+1)^2(x+2)^2\,}\,}\)
解法のPoint｜対数微分法
\({\small (2)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3(x+2)\sqrt[3]{\,(x+1)^2(x+2)^2\,}\,}\)
解法のPoint｜対数微分法
p.99 章末問題B 13\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-e^{-2t}~,~\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}=2e^{-3t}\)
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p.99 章末問題B 14[証明]
方程式 \(x^{\large \frac{2}{3}}+y^{\large \frac{2}{3}}=1\) について、
両辺を \(x\) で微分すると、
\(y^{\large \frac{2}{3}}\) は合成関数の微分と考えて \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) をつけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}x^{\large \frac{2}{3}}+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}y^{\large \frac{2}{3}}&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^{-\large \frac{1}{3}}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}y^{-\large \frac{1}{3}} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}y^{-\large \frac{1}{3}} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^{-\large \frac{1}{3}}\end{eqnarray}\)
\(y \neq 0\) のとき、両辺を \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}y^{-\large \frac{1}{3}}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,x^{-\large \frac{1}{3}}\,}{\,y^{-\large \frac{1}{3}}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,y^{\large \frac{1}{3}}\,}{\,x^{\large \frac{1}{3}}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\left(\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\right)^{\large \frac{1}{3}}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\left(\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\right)^{\large \frac{1}{3}}\) となる
[終]
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方程式 \(x^{\large \frac{2}{3}}+y^{\large \frac{2}{3}}=1\) について、
両辺を \(x\) で微分すると、
\(y^{\large \frac{2}{3}}\) は合成関数の微分と考えて \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) をつけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}x^{\large \frac{2}{3}}+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}y^{\large \frac{2}{3}}&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^{-\large \frac{1}{3}}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}y^{-\large \frac{1}{3}} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}y^{-\large \frac{1}{3}} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^{-\large \frac{1}{3}}\end{eqnarray}\)
\(y \neq 0\) のとき、両辺を \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}y^{-\large \frac{1}{3}}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,x^{-\large \frac{1}{3}}\,}{\,y^{-\large \frac{1}{3}}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,y^{\large \frac{1}{3}}\,}{\,x^{\large \frac{1}{3}}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\left(\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\right)^{\large \frac{1}{3}}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\left(\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\right)^{\large \frac{1}{3}}\) となる
[終]
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