【新課程】数研出版：高等学校数学Ⅲ[709]

問題

p.43 問題 1\({\small (1)}~1\)　　\({\small (2)}~-2\)

解法のPoint｜平方根を含む数列の極限
\({\small (3)}~4\)　　\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)

解法のPoint｜無限等比数列の極限と不定形

p.43 問題 2\({\small (1)}~-1\)　　\({\small (2)}~0\)　　\({\small (3)}~1\)

解法のPoint｜rⁿを含む数列の極限

p.43 問題 3　\(\infty\)

解法のPoint｜漸化式と数列の極限

p.43 問題 4　\(0{\small ~≦~}x\lt 2\)

　\(x=0\) のとき \(0\)

　\(0\lt x\lt 2\) のとき \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-x\,}\)

p.43 問題 5　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a\)

p.43 問題 6\({\small (1)}~\)偽、反例は \(a_n=n~,~b_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\)

\({\small (2)}~\)真

解法のPoint｜数列の極限の性質を用いた計算

第２節　関数の極限

p.46 練習19\({\small (1)}~-2\)　　\({\small (2)}~0\)

\({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)　　\({\small (4)}~\sqrt{2}\)

p.47 練習20\({\small (1)}~-6\)　　\({\small (2)}~-3\)　　\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^2\,}\)

p.47 練習21\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)　　\({\small (2)}~4\)

p.48 練習22\({\small (1)}~a=-2\sqrt{2}~,~b=4\)
\({\small (2)}~a=4~,~b=-8\)

解法のPoint｜絶対値・ガウス記号・分数関数の片側極限

p.49 練習23\({\small (1)}~\infty\)　　\({\small (2)}~-\infty\)

解法のPoint｜x²の分数関数の極限

p.51 練習24\({\small (1)}~1\)　　\({\small (2)}~-1\)
\({\small (3)}~2\)　　\({\small (4)}~-2\)

p.51 練習25\({\small (1)}~\infty\)　　\({\small (2)}~-\infty\)

解法のPoint｜絶対値・ガウス記号・分数関数の片側極限

p.53 練習26\({\small (1)}~0\)　　\({\small (2)}~0\)
\({\small (3)}~\infty\)　　\({\small (4)}~\infty\)

解法のPoint｜無限大に向かう関数の極限

解法のPoint｜無限大に向かう関数の極限と不定形

p.53 練習27\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\)

\({\small (3)}~-\infty\)　　\({\small (4)}~0\)

解法のPoint｜無限大に向かう関数の極限と不定形

p.54 練習28\({\small (1)}~1\)　　\({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

解法のPoint｜無限大に向かう無理関数の極限

p.55 練習29\({\small (1)}~0\)　　\({\small (2)}~0\)
\({\small (3)}~\infty\)　　\({\small (4)}~\infty\)

解法のPoint｜指数関数と対数関数の極限

p.55 練習30\({\small (1)}~0\)　　\({\small (2)}~\infty\)　　\({\small (3)}~2\)

解法のPoint｜指数関数と対数関数の極限と不定形

p.56 練習31\({\small (1)}~0\)　　\({\small (2)}~1\)　　\({\small (3)}~0\)

解法のPoint｜三角関数の極限

p.57 練習32\({\small (1)}~0\)　　\({\small (2)}~0\)　　\({\small (3)}~0\)

解法のPoint｜三角関数の極限とはさみうちの原理

p.59 練習33\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)　　\({\small (2)}~1\)　　\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\)

p.59 練習34\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)　　\({\small (2)}~-2\)

p.60 練習35\(~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\)

解法のPoint｜閉区間と関数が最大値・最小値をもつ条件

p.63 練習36\({\small (1)}~\)連続
\({\small (2)}~\)不連続
\({\small (3)}~\)連続

解法のPoint｜関数の連続・不連続の調べ方

p.64 練習37\({\small (1)}~(-\infty~,~1]\)
\({\small (2)}~(-\infty~,~1)~,~(1~,~2)~,~(2~,~\infty)\)

解法のPoint｜関数の連続・不連続の調べ方

p.64 練習38\({\small (1)}~\)\(x=0\) で最大値 \(1\)、\(x=\pi\) で最小値 \(-1\)

\({\small (2)}~\)\(x=0\) で最大値 \(1\)
　\(x=\pi~,~-\pi\) で最小値 \(-1\)

p.65 練習39[証明] \(f(x)=2^x-3x\) とおくと、

\(2^x\) と \(3x\) はともに連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) は閉区間 \([3~,~4]\) で連続である

次に、区間の両端の値 \(f(3)~,~f(4)\) を求めると、

\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&2^3-3 \cdot 3
\\[3pt]~~~&=&8-9
\\[3pt]~~~&=&-1\lt 0\end{eqnarray}\)

また、

\(\begin{eqnarray}~~~f(4)&=&2^4-3 \cdot 4
\\[3pt]~~~&=&16-12
\\[3pt]~~~&=&4\gt 0\end{eqnarray}\)

よって、\(f(3)\) と \(f(4)\) は異符号である

したがって、中間値の定理より、方程式 \(2^x-3x=0\) は \(3 \lt x \lt 4\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ [終]

問題

p.66 問題 7\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)　　\({\small (2)}~4\)

p.66 問題 8　\(a=-4~,~\displaystyle \lim_{x \to 2}f(x)=4\)

解法のPoint｜指数関数と対数関数の極限と不定形

p.66 問題 9\({\small (1)}~0\)　　\({\small (2)}~0\)

解法のPoint｜無限大に向かう無理関数の極限

p.66 問題 10\({\small (1)}~-1\)　　\({\small (2)}~-1\)

p.66 問題 11\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)　　\({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

p.66 問題 12　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

解法のPoint｜置き換えを行う三角関数の極限

p.66 問題 13　\(a=1\)

解法のPoint｜関数の連続・不連続の調べ方

p.66 問題 14[証明] \(f(x)=x^3-3x+1\) とおくと、

\(x^3~,~3x~,~1\) はいずれも連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) は閉区間 \([-2~,~0]\) で連続である

次に、区間の両端の値 \(f(-2)~,~f(0)\) を求めると、

\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)&=&(-2)^3-3 \cdot (-2)+1
\\[3pt]~~~&=&-8+6+1
\\[3pt]~~~&=&-1\lt 0\end{eqnarray}\)

また、

\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3-3 \cdot 0+1
\\[3pt]~~~&=&0-0+1
\\[3pt]~~~&=&1\gt 0\end{eqnarray}\)

よって、\(f(-2)\) と \(f(0)\) は異符号である

したがって、中間値の定理より、方程式 \(x^3-3x+1=0\) は \(-2 \lt x \lt 0\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつので、負の解をもつ [終]

p.66 問題 15\({\small (1)}~S_n=\displaystyle \frac{\,r^2\,}{\,2\,}n\sin \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\)

\({\small (2)}~\)[証明]

半径 \(r\) の円の面積は \(S=\pi r^2\) となるので、

\(\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\) の角 \(\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\) と分母を揃えるために、\(\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}\) をかけると、

\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}r^2\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}r^2\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}r^2 \cdot \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\pi r^2 \cdot \displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}\end{eqnarray}\)

\(n \to \infty\) のとき \(\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,} \to +0\) となるので、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}=1\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\pi r^2 \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&\pi r^2\end{eqnarray}\)

したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=S\) が成り立つ

[終]

章末問題　極限

p.67 章末問題A 1\({\small (1)}~0\)　　\({\small (2)}~\infty\)

解法のPoint｜数列の和を含む数列の極限

p.67 章末問題A 2\({\small (1)}~\)[証明] \(n=1\) のとき、

\(\begin{eqnarray}~~~(左辺)&=&2^1
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~(右辺)&=&1+1+\displaystyle \frac{\,1 \cdot (1-1)\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

よって、\(n=1\) のとき、不等式は成り立つ。

\(n=2\) のとき、

\(\begin{eqnarray}~~~(左辺)&=&2^2
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~(右辺)&=&1+2+\displaystyle \frac{\,2 \cdot (2-1)\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)

よって、\(n=2\) のとき、不等式は成り立つ。

\(n {\small ~≧~} 3\) のとき、\(2^n=(1+1)^n\) の展開式は二項定理より、

\(\begin{eqnarray}~~~&&2^n
\\[3pt]~~~&=&(1+1)^n
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2+{}_n \mathrm{ C }_3+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n
\\[5pt]~~~&=&1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}+\left({}_n \mathrm{ C }_3+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n\right)\end{eqnarray}\)

ここで、\(n\) が \(3\) 以上の自然数より、

　\({}_n \mathrm{ C }_3+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \gt 0\)

よって、

\(\begin{eqnarray}~~~2^n&=&1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}+\left({}_n \mathrm{ C }_3+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n\right)
\\[5pt]~~~&\gt&1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

したがって、自然数 \(n\) について、

　\(2^n {\small ~≧~} 1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\) [終]

\({\small (2)}~0\)

p.67 章末問題A 3　\(\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)\)

解法のPoint｜指数関数と対数関数の極限と不定形

p.67 章末問題A 4\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)

解法のPoint｜関数の極限の計算
\({\small (2)}~-1\)

解法のPoint｜指数関数と対数関数の極限
\({\small (3)}~0\)　　\({\small (4)}~1\)

p.67 章末問題A 5\({\small (1)}~2\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

p.67 章末問題A 6[証明] \(f(x)=\log_{2}x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x-1\) とおくと、

\(\log_{2}x~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x~,~1\) はいずれも連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) は閉区間 \([1~,~2]\) で連続である

次に、区間の両端の値 \(f(1)~,~f(2)\) を求めると、

\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&\log_{2}1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1-1
\\[5pt]~~~&=&0+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\lt 0\end{eqnarray}\)

また、

\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&\log_{2}2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2-1
\\[5pt]~~~&=&1+1-1
\\[3pt]~~~&=&1\gt 0\end{eqnarray}\)

よって、\(f(1)\) と \(f(2)\) は異符号である

したがって、中間値の定理より、方程式 \(\log_{2}x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x=1\) は \(1 \lt x \lt 2\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ [終]

p.68 章末問題B 7\({\small (1)}~\)　\(a_n=\displaystyle \frac{\,2^{n-1}+2\,}{\,2^{n-1}+1\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

\({\small [\,1\,]}\) が成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明する

\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle \frac{\,2^{1-1}+2\,}{\,2^{1-1}+1\,}=\displaystyle \frac{\,1+2\,}{\,1+1\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

よって、\(n=1\) で \({\small [\,1\,]}\) は成り立つ

\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) が成り立つと仮定すると、

　\(a_k=\displaystyle \frac{\,2^{k-1}+2\,}{\,2^{k-1}+1\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)

\(n=k+1\) のとき、漸化式より、

\(\begin{eqnarray}~~~a_{k+1}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3-a_k\,}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,2\,]}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{a_{k+1}}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3-\displaystyle \frac{\,2^{k-1}+2\,}{\,2^{k-1}+1\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2{\, \small \times \,}(2^{k-1}+1)\,}{\,\left(3-\displaystyle \frac{\,2^{k-1}+2\,}{\,2^{k-1}+1\,}\right){\, \small \times \,}(2^{k-1}+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(2^{k-1}+1)\,}{\,3(2^{k-1}+1)-(2^{k-1}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(2^{k-1}+1)\,}{\,3 \cdot 2^{k-1}+3-2^{k-1}-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(2^{k-1}+1)\,}{\,2 \cdot 2^{k-1}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^k+2\,}{\,2^k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^{(k+1)-1}+2\,}{\,2^{(k+1)-1}+1\,}\end{eqnarray}\)

※ 数式は横にスクロールできます。

これより、\({\small [\,1\,]}\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ

\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ [終]

\({\small (2)}~1\)

p.68 章末問題B 8初項 \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)、公比 \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)

p.68 章末問題B 9　\(f(x)=2x^2-6x+4\)

p.68 章末問題B 10　\((0~,~2)\)

p.68 章末問題B 11\({\small (1)}~\)無限等比級数 \(x^2+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,1+x^2\,}+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,(1+x^2)^2\,}+\cdots\) について、

初項は \(a=x^2\)、

各項に \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\) となる

また、初項 \(a=x^2\) に文字を含むので、\(x=0\) と \(x\neq 0\) で場合分けする

\({\small [\,1\,]}~\) \(x=0\) のとき、

初項が \(a=0\) となるので、この無限等比級数は収束し、その和は \(0\) となるので、

　\(f(0)=0\)

\({\small [\,2\,]}~\) \(x\neq 0\) のとき、

初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、

\(x^2\gt 0\) より \(1+x^2\gt 1\) となるので、

　\(0\lt\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\lt 1\)

これより、\(|\,r\,|\lt 1\) を満たすので、\(x\neq 0\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、

\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\displaystyle \frac{\,1+x^2-1\,}{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&x^2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1+x^2\,}{\,x^2\,}
\\[5pt]~~~&=&1+x^2\end{eqnarray}\)

\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、この無限等比級数はすべての実数 \(x\) で収束し、

\(\begin{eqnarray}~~~f(x)=\left\{~\begin{array}{ll}
0 & (x=0)
\\[3pt] 1+x^2 & (x\neq 0)
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

\({\small (2)}~\)

\({\small (3)}~x=0\)