【新課程】数研出版：数学Ⅲ[708]

p.74 練習1$$~~~1$$

p.75 練習2[証明] 関数 \(f(x)=|x^2-1|\) は \(x=1\) で連続で、$$\begin{split}&\frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,|h^2+2h|\,}{\,h\,}=\frac{\,|h||h+2|\,}{\,h\,}\end{split}$$これより、$$\begin{split}&\lim_{h\to +0}\frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h\to +0}\frac{\,h(h+2)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h\to +0}(h+2)\\[3pt]~~=~&2\end{split}$$$$\begin{split}&\lim_{h\to -0}\frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h\to -0}\frac{\,-h(h+2)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h\to -0}(-h-2)\\[3pt]~~=~&-2\end{split}$$これより、\(f'(1)\) は存在しない
したがって、\(f(x)\) は \(x=1\) で微分可能でない [終]

p.76 練習3$${\small (1)}~$$$$\begin{eqnarray}~~~f'(x)&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,1\,}{\,h\,}\left\{ \frac{\,1\,}{\,x+h\,} -\frac{\,1\,}{\,x\,} \right\}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,-1\,}{\,x(x+h)\,}\\[3pt]~~~&=&-\frac{\,1\,}{\,x^2\,}\end{eqnarray}$$$${\small (2)}~$$$$\small　\begin{eqnarray}~~~f'(x)&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,\sqrt{2(x+h)-1}-\sqrt{2x-1}\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,2(x+h)-1-(2x-1)\,}{\,h(\sqrt{2(x+h)-1}+\sqrt{2x-1})\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,2\,}{\,\sqrt{2(x+h)-1}+\sqrt{2x-1}\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2x-1}\,}\end{eqnarray}$$

p.77 問1性質１
[証明]$$\begin{eqnarray}~~~\{ kf(x) \}’&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,kf(x+h)-kf(x)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&k\lim_{h\to 0}\frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&kf'(x)\end{eqnarray}$$[終]
 
性質３
[証明]性質２より、$$~~~\{ kf(x)+lg(x) \}’=\{ kf(x) \}’+\{lg(x) \}’$$性質１より、$$~~~\{ kf(x) \}’+\{lg(x) \}’=kf'(x)+lg'(x)$$したがって、$$~~~\{ kf(x)+lg(x) \}’=kf'(x)+lg'(x)$$[終]

p.77 練習4$${\small (1)}~y’=-3x^2-14x+2$$$${\small (2)}~y’=8x^3-6x$$

p.79 練習5$${\small (1)}~y’=6x^2-2x+5$$$${\small (2)}~y’=42x^6+12x^3-6x^2$$

p.81 練習6$${\small (1)}~y’=-\frac{\,4\,}{\,(2x-1)^2\,}$$$${\small (2)}~y’=-\frac{\,x^2+1\,}{\,(x^2-1)^2\,}$$$${\small (3)}~y’=\frac{\,x^2+2x\,}{\,(x+1)^2\,}$$

p.81 問2$$~~~y’=-\frac{\,1\,}{\,x^2\,}$$

p.81 練習7$${\small (1)}~y’=-\frac{\,2\,}{\,x^3\,}$$$${\small (2)}~y’=-\frac{\,1\,}{\,x^4\,}$$$${\small (3)}~y’=1-\frac{\,1\,}{\,x^2\,}$$

p.83 問3\({\small (1)}~\)[証明] \(u=ax+b\) とすると、$$~~~\frac{\,df(u)\,}{\,du\,}=f'(u)~,~\frac{\,du\,}{\,dx\,}=a$$これより、$$~~~\frac{\,df(u)\,}{\,dx\,}=\frac{\,df(u)\,}{\,du\,}\cdot \frac{\,du\,}{\,dx\,}=af'(u)$$したがって、$$~~~\frac{\,d\,}{\,dx\,}f(ax+b)=af'(ax+b)$$[終]
 
\({\small (2)}~\)[証明] \(u=g(x)\) とすると、$$~~~\frac{\,du^n\,}{\,du\,}=nu^{n-1}~,~\frac{\,du\,}{\,dx\,}=u’$$これより、$$~~~\frac{\,du^n\,}{\,dx\,}=\frac{\,du^n\,}{\,du\,}\cdot\frac{\,du\,}{\,dx\,}=nu^{n-1}\cdot u’$$したがって、$$~~~\frac{\,d\,}{\,dx\,}\{ g(x) \}^n=n\{ g(x) \}^{n-1}\cdot g'(x)$$[終]

p.83 練習8$${\small (1)}~y’=12(3x+1)^3$$$${\small (2)}~y’=-12x(3-2x^2)^2$$$${\small (3)}~y’=-\frac{\,6x\,}{\,(x^2+1)^4\,}$$

p.84 練習9$${\small (1)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\frac{\,1\,}{\,6\,}x^{-\frac{\,5\,}{\,6\,}}$$$${\small (2)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\frac{\,1\,}{\,2\sqrt{x}\,}$$

p.85 練習10$${\small (1)}~y’=\frac{\,3\,}{\,2\,}\sqrt{x}$$$${\small (2)}~y’=\frac{\,1\,}{\,2\sqrt[\large 4]{(2x-3)^3}\,}$$$${\small (3)}~y’=\frac{\,2x+1\,}{\,3\sqrt[\large 3]{(x^2+x+1)^2}\,}$$

p.86 問題 1\(y=x\sqrt{x}=\sqrt{x^3}\) より、$$\begin{eqnarray}~~~y’&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,\sqrt{(x+h)^3}-\sqrt{x^3}\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,(x+h)^3-x^3\,}{\,h(\sqrt{(x+h)^3}+\sqrt{x^3})\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,3x^2h+3xh^2+h^3\,}{\,h(\sqrt{(x+h)^3}+\sqrt{x^3})\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,3x^2+3xh+h^2\,}{\,\sqrt{(x+h)^3}+\sqrt{x^3}\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,3x^2\,}{\,2\sqrt{x^3}\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,3\,}{\,2\,}\sqrt{\frac{\,x^4\,}{\,x^3\,}}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,3\,}{\,2\,}\sqrt{x}\end{eqnarray}$$

p.86 問題 3[証明] \(f(x)g(x)\) と \(h(x)\) の積の微分法より、$$\small \begin{eqnarray}~~~y’&=&\{ f(x)g(x)\cdot h(x) \}’\\[2pt]~~~&=&\{ f(x)g(x)\}’ \cdot h(x) +f(x)g(x)\cdot h'(x)\\[2pt]~~~&=&\{ f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\} \cdot h(x) \\[2pt]~~~&&~~~~~~+f(x)g(x) h'(x)\\[2pt]~~~&=&f'(x)g(x) h(x)+f(x)g'(x) h(x)\\[2pt]~~~&&~~~~~~+f(x)g(x) h'(x)\end{eqnarray}$$[終]
$$~~~y’=3x^2+4x-5$$

p.88 練習11$${\small (1)}~y’=2\sin{x}\cos{x}=\sin{2x}$$$${\small (2)}~y’=-\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin{\left(\frac{\,x\,}{\,2\,}+\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}$$$${\small (3)}~y’=\frac{\,3\,}{\,\cos^3{3x}\,}$$$${\small (4)}~y’=\frac{\,\cos{x}\,}{\,2\sqrt{1+\sin{x}}\,}$$$${\small (5)}~y’=\frac{\,\sin{x}\,}{\,(1+\cos{x})^2\,}$$$${\small (6)}~y’=\frac{\,4\tan{2x}\,}{\,\cos^2{2x}\,}=\frac{\,4\sin{2x}\,}{\,\cos^3{2x}\,}$$

p.88 練習12$$~~~y’=-x\sin{x}$$

p.90 練習13$${\small (1)}~y’=\frac{\,1\,}{\,x\,}$$$${\small (2)}~y’=\frac{\,2\,}{\,(2x-1)\log_{}3\,}$$$${\small (3)}~y’=2x\log_{}x+x$$$${\small (4)}~y’=\frac{\,2\log_{}x\,}{\,x\,}$$

p.91 問4$${\small (1)}~y’=\frac{\,2\,}{\,2x+3\,}$$$${\small (2)}~y’=\frac{\,2x\,}{\,(x^2-4)\log_{}2\,}$$$${\small (3)}~y’=\frac{\,\cos{x}\,}{\,\sin{x}\,}=\frac{\,1\,}{\,\tan{x}\,}$$

p.91 練習14$${\small (1)}~y’=\frac{\,3\,}{\,3x-1\,}$$$${\small (2)}~y’=\frac{\,1\,}{\,x\log_{}10\,}$$$${\small (3)}~y’=\frac{\,2x\,}{\,(x^2-9)\log_{}3\,}$$$${\small (4)}~y’=-\frac{\,\sin{x}\,}{\,\cos{x}\,}=-\tan{x}$$$${\small (5)}~y’=\frac{\,2\,}{\,(x+1)(x-1)\,}$$

p.92 練習15$${\small (1)}~y’=-\frac{\,6(x+1)^2\,}{\,(x-1)^2(x+2)^3\,}$$$${\small (2)}~y’=-\frac{\,x+3\,}{\,2(x+1)^2\sqrt{x+2}\,}$$

p.93 練習16$${\small (1)}~y’=3e^{3x}$$$${\small (2)}~y’=-3^{-x}\log_{}3$$$${\small (3)}~y’=2xe^{x^2}$$$${\small (4)}~y’=xe^x$$

p.94 練習17$${\small (1)}~y'{}’=12x-6~,~y'{}'{}’=12$$$${\small (2)}~y'{}’=-\sin{x}~,~y'{}'{}’=-\cos{x}$$$${\small (3)}~y'{}’=e^x~,~y'{}'{}’=e^x$$$${\small (4)}~y'{}’=-\frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~y'{}'{}’=\frac{\,2\,}{\,x^3\,}$$

p.95 練習18$${\small (1)}~y^{(n)}=(-1)^ne^{2-x}$$$${\small (2)}~y^{(n)}=n!$$$${\small (3)}~y^{(n)}=(n+x)e^x$$

p.95 練習19[証明]$$\begin{eqnarray}~~~y’&=&-e^{-x}\cos{x}+e^{-x}(-\sin{x})\\[2pt]~~~&=&-e^{-x}(\sin{x}+\cos{x})\end{eqnarray}$$$$\begin{eqnarray}~~~y'{}’&=&e^{-x}\cos{x}+e^{-x}\sin{x}+e^{-x}\sin{x}\\[2pt]~~~&&~~~~~~-e^{-x}\cos{x}\\[2pt]~~~&=&2e^{-x}\sin{x}\end{eqnarray}$$これより、$$\begin{split}&y'{}’+2y’+2y\\[2pt]~~=~&2e^{-x}\sin{x}-2e^{-x}(\sin{x}+\cos{x})\\[2pt]~~~~&~~~~~~~~~+2e^{-x}\cos{x}\\[2pt]~~=~&0\end{split}$$[終]

p.98 問5$$~~~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\frac{\,2\,}{\,y\,}$$

p.98 問6$$~~~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\frac{\,4x\,}{\,9y\,}$$

p.98 練習20$${\small (1)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\frac{\,x+1\,}{\,y\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\frac{\,9x\,}{\,16y\,}$$$${\small (3)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\frac{\,9x\,}{\,4y\,}$$

p.101 練習21$${\small (1)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\frac{\,2\,}{\,3\,}t$$$${\small (2)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\frac{\,\cos{t}\,}{\,\sin{t}\,}=-\frac{\,1\,}{\,\tan{t}\,}$$$${\small (3)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\frac{\,1\,}{\,2\sin{t}\,}$$

p.102 問題 9[証明]$$~~~y’=-2e^{-2x}\sin{2x}+2e^{-2x}\cos{2x}$$$$~~~y'{}’=-8e^{-2x}\cos{2x}$$これより、$$\begin{split}&y'{}’+4y’+8y\\[2pt]~~=~&-8e^{-2x}\cos{2x}-8e^{-2x}\sin{2x}\\[2pt]~~~&~~~~~~~~+8e^{-2x}\cos{2x}+8e^{-2x}\sin{2x}\\[2pt]~~=~&0\end{split}$$したがって、\(y'{}’+4y’+8y=0\) [終]

p.102 問題 10両辺を \(x\) で微分すると、$$~~~\frac{\,2\,}{\,3\,}x^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}+\frac{\,2\,}{\,3\,}y^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}\cdot \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=0$$これより、
$$\begin{eqnarray}y^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}\cdot \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-x^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}\\[3pt]~~~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\frac{\,x^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}\,}{\,y^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}\,}\\[3pt]~~~&=&-\left(\frac{\,x\,}{\,y\,}\right)^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}\\[3pt]~~~&=&-\left(\frac{\,y\,}{\,x\,}\right)^{\frac{\,1\,}{\,3\,}}\end{eqnarray}$$

p.103 演習問題Ａ 2[証明]
\({\small [1]}~\)\(n=1\) のとき、$$~~~y’=\cos{x}=\sin{\left(x+\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)}$$これより、成り立つ
\({\small [2]}~\)\(n=k\) のとき、$$~~~y^{(k)}=\sin{\left(x+\frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)}$$が成り立つと仮定し、さらに両辺を \(x\) で微分すると、$$\begin{eqnarray}~~~y^{(k+1)}&=&\cos{\left(x+\frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)}\\[3pt]~~~&=&\sin{\left(x+\frac{\,k\pi\,}{\,2\,}+\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)}\\[3pt]~~~&=&\sin{\left\{x+\frac{\,(k+1)\pi\,}{\,2\,}\right\}}\end{eqnarray}$$これより、\(n=k+1\) のときも成り立つ
したがって、数学的帰納法よりすべての自然数 \(n\) について成り立つ [終]