【新課程】数研出版：数学Ⅲ[708]

p.27 練習1$${\small (1)}~1$$$${\small (2)}~0$$

p.29 練習2\({\small (1)}~\)正の無限大に発散
\({\small (2)}~\)負の無限大に発散
\({\small (3)}~\)振動
\({\small (4)}~\)\(1\) に収束

p.30 練習3$${\small (1)}~22$$$${\small (2)}~2$$$${\small (3)}~-\frac{\,3\,}{\,2\,}$$$${\small (4)}~\frac{\,1\,}{\,5\,}$$

p.30 練習4$${\small (1)}~2$$$${\small (2)}~4$$$${\small (3)}~\frac{\,2\,}{\,5\,}$$$${\small (4)}~\frac{\,3\,}{\,2\,}$$$${\small (5)}~-2$$$${\small (6)}~0$$

p.31 問1$${\small (1)}~\infty$$$${\small (2)}~\frac{\,4\,}{\,3\,}$$

p.31 練習5$${\small (1)}~\infty$$$${\small (2)}~-\infty$$$${\small (3)}~1$$$${\small (4)}~1$$$${\small (5)}~\infty$$$${\small (6)}~-2$$

p.32 練習6$$~~~0$$

p.34 問2$${\small (1)}~\infty$$$${\small (2)}~0$$$${\small (3)}~0$$\({\small (4)}~\)極限はない

p.34 練習7\({\small (1)}~0\)
\({\small (2)}~\)極限はない
\({\small (3)}~0\)

p.35 練習8$${\small (1)}~-\frac{\,1\,}{\,5\,}$$$${\small (2)}~\infty$$$${\small (3)}~-\infty$$

p.35 問3　\(-2< x ≦2\)
　\(-2< x < 2\) のとき、極限値 \(0\)
　\(x=2\) のとき、極限値 \(2\)

p.35 練習9　\(0< x ≦2\)
　\(0< x < 2\) のとき、極限値 \(0\)
　\(x=2\) のとき、極限値 \(1\)

p.36 練習10\([~1~]~r > 1\) のとき、\(0\)
\([~2~]~r=1\) のとき、\({\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\)
\([~3~]~0< r< 1\) のとき、\({\large \frac{\,2\,}{\,3\,}}\)

p.36 練習11\([~1~]~r > 1\) のとき、\(-1\)
\([~2~]~r=1\) のとき、\(0\)
\([~3~]~|r| < 1\) のとき、\(1\)
\([~4~]~r < -1\) のとき、\(-1\)

p.37 練習12$$~~~-3$$

p.39 練習13\({\small (1)}~\)収束し、和は \({\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\)
\({\small (2)}~\)正の無限大に発散

p.41 練習14\({\small (1)}~\)発散
\({\small (2)}~\)収束し、和は \({\large \frac{\,3\,}{\,5\,}}\)
\({\small (3)}~\)発散
\({\small (4)}~\)収束し、和は \(3+2\sqrt{2}\)

p.41 問4[証明] 初項を \(a\)、公比 \(r\) とすると、
\({\small [1]}~x=0\) のとき、
\(a=0\) となり、この無限等比級数は収束
\({\small [2]}~0< x< 2\) のとき、
\(a=x\) で \(r=1-x\) となり、\(-1< r < 1\)
これより、この無限等比級数は収束
したがって、この無限等比級数は \(0≦x< 2\) で収束する [終]
 
\(x=0\) のとき、和は \(0\)
\(0< x< 2\) のとき、和は \(1\)

p.41 練習15$$~~~0≦x < 2$$\(x=0\) のとき、和は \(0\)
\(0< x< 2\) のとき、和は \({\large \frac{\,1\,}{\,2-x\,}}\)

p.42 練習16$$~~~x=\frac{\,3\,}{\,4\,}$$

p.43 練習17$$~~~l=2b$$

p.44 練習18$${\small (1)}~\frac{\,2\,}{\,3\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,5\,}{\,11\,}$$$${\small (3)}~\frac{\,39\,}{\,110\,}$$$${\small (4)}~\frac{\,87\,}{\,185\,}$$

p.45 練習19$${\small (1)}~2$$$${\small (2)}~1$$$${\small (3)}~\frac{\,9\,}{\,2\,}$$

p.46 問5\({\small (1)}~\)[証明] この無限級数の第 \(n\) 項は、
　\(a_n=(-1)^{n-1}n\)
\(n\to \infty\) で振動して極限はない
これより、\(0\) に収束しないので、この無限級数は発散する [終]
 
\({\small (2)}~\)[証明] この無限級数の第 \(n\) 項を \(n\to \infty\) とすると、$$~~~\lim_{n \to \infty}\frac{\,n\,}{\,n+1\,}=\lim_{n \to \infty}\frac{\,1\,}{\,1+\frac{\,1\,}{\,n\,}\,}=1$$これより、\(0\) に収束しないので、この無限級数は発散する [終]

p.46 練習20\({\small (1)}~\)発散する
\({\small (2)}~\)発散する

p.50 練習21$${\small (1)}~-1$$$${\small (2)}~-\frac{\,1\,}{\,21\,}$$$${\small (3)}~2\sqrt{2}$$

p.51 練習22$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,3\,}$$$${\small (2)}~-\frac{\,3\,}{\,2\,}$$$${\small (3)}~-1$$

p.51 練習23$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,6\,}$$$${\small (2)}~2$$$${\small (3)}~2\sqrt{2}$$

p.52 練習24$$~~~a=4~,~b=-8$$

p.53 問6$${\small (1)}~\infty$$$${\small (2)}~-\infty$$

p.55 練習25$${\small (1)}~1$$$${\small (2)}~-4$$$${\small (3)}~-2$$

p.55 練習26$${\small (1)}~\infty$$$${\small (2)}~-\infty$$

p.56 練習27$${\small (1)}~0$$$${\small (2)}~1$$$${\small (3)}~0$$$${\small (4)}~-\infty$$$${\small (5)}~-\infty$$$${\small (6)}~\infty$$

p.57 練習28$${\small (1)}~2$$$${\small (2)}~\infty$$$${\small (3)}~0$$

p.57 練習29$${\small (1)}~-1$$$${\small (2)}~-\frac{\,1\,}{\,2\,}$$

p.58 練習30$${\small (1)}~0$$$${\small (2)}~0$$$${\small (3)}~\infty$$$${\small (4)}~\infty$$

p.58 練習31$${\small (1)}~-\infty$$$${\small (2)}~2$$

p.59 問7$$~~~0$$

p.59 練習32$${\small (1)}~0$$$${\small (2)}~1$$

p.60 練習33$${\small (1)}~0$$$${\small (2)}~0$$$${\small (3)}~0$$

p.62 問8$${\small (1)}~\frac{\,2\,}{\,3\,}$$$${\small (2)}~1$$

p.62 練習34$${\small (1)}~\frac{\,3\,}{\,2\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,3\,}{\,5\,}$$$${\small (3)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}$$

p.62 問9$$~~~2$$

p.62 練習35$${\small (1)}~-1$$$${\small (2)}~1$$

p.63 練習36$$~~~2$$

p.65 練習37\({\small (1)}~\)連続
\({\small (2)}~\)不連続
\({\small (3)}~\)不連続

p.67 練習38\({\small (1)}~\)
　\(x=1\) で最大値 \(1\)、\(x=3\) で最小値 \(-3\)
\({\small (2)}~\)
　最大値なし、\(x=\pi\) で最小値 \(-1\)

p.68 練習39[証明] \(f(x)=2^x-3x\) とすると、区間 \([3~,~4]\) で連続であり、$$~~~f(3)=-1< 0$$$$~~~f(4)=4> 0$$これより、方程式 \(f(x)=0\) は \(3< x < 4\) の範囲で少なくとも１つの実数解をもつ [終]

p.70 問題 13[証明] \(f(x)=(x^2-1)\cos{x}+\sqrt{2}\sin{x}-1\) とすると、区間 \(\left[0~,~{\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}} \right]\) で連続であり、$$~~~f(0)=-2< 0$$$$~~~f\left(\frac{\,\pi\,}{\,2\,} \right)=\sqrt{2}-1> 0$$これより、方程式 \(f(x)=0\) は \(0< x < {\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}\) の範囲で少なくとも１つの実数解をもつ [終]

p.71 演習問題Ｂ 5\({\small (1)}~\)[証明]$$~~~a_n=\frac{\,2^{n-1}+2\,}{\,2^{n-1}+1\,}~~~\cdots{\large ①}$$\({\small [1]}~\)\(n=1\) のとき、①より、$$~~~\frac{\,2^0+2\,}{\,2^0+1\,}=\frac{\,3\,}{\,2\,}$$よって、\(n=1\) のとき、①は成り立つ
\({\small [2]}~\)\(n=k\) のとき、①が成り立つと仮定すると、$$~~~a_k=\frac{\,2^{k-1}+2\,}{\,2^{k-1}+1\,}$$が成り立つ
これより、$$\begin{eqnarray}~~~a_{k+1}&=&\frac{\,2\,}{\,3-a_k\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,2\,}{\,3-\frac{\,2^{k-1}+2\,}{\,2^{k-1}+1\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,2^k+2\,}{\,2^k+1\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,2^{(k+1)-1}+2\,}{\,2^{(k+1)-1}+1\,}\end{eqnarray}$$よって、\(n=k+1\) のときも①が成り立つ
\({\small [1]}\) と \({\small [2]}\) より、すべての自然数 \(n\) について①は成り立つ [終]
$${\small (2)}~1$$

p.71 演習問題Ｂ 6初項 \(x^2\)、公比 \({\large \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}}\) の無限等比級数である
\({\small [1]}~\)\(x=0\) のとき、
初項が \(0\) となり、この無限等比級数は \(0\) に収束
\({\small [2]}~\)\(x\neq 0\) のとき、$$~~~0< \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,} < 1$$であるのでこの無限等比級数は収束し、$$~~~\frac{\,x^2\,}{\,1-\frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\,}=x^2+1$$したがって、この無限級数はすべての実数 \(x\) で収束する [終]
 
\(y=f(x)\) が不連続となる \(x\) は、\(x=0\)