【新課程】数研出版：数学Ⅲ[708]

p.147 練習1\(C\) を積分定数とする$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,5\,}x^5+C$$$${\small (2)}~-\frac{\,1\,}{\,4y^4\,}+C$$$${\small (3)}~\frac{\,3\,}{\,4\,}x^{\frac{\,4\,}{\,3\,}}+C$$$${\small (4)}~\frac{\,4\,}{\,5\,}t^{\frac{\,5\,}{\,4\,}}+C=\frac{\,4\,}{\,5\,}t\sqrt[\large 4]{t}+C$$$${\small (5)}~\frac{\,2\,}{\,5\,}x^{\frac{\,5\,}{\,2\,}}+C=\frac{\,2\,}{\,5\,}x^2\sqrt{x}+C$$$${\small (6)}~2\sqrt{x}+C$$

p.148 問1\(C\) を積分定数とする$$~~~x-4\sqrt{x}+\log_{}|x|+C$$

p.148 練習2\(C\) を積分定数とする$${\small (1)}~x-2\log_{}|x|+\frac{\,3\,}{\,x\,}-\frac{\,3\,}{\,x^2\,}+C$$$${\small (2)}~\frac{\,2\,}{\,3\,}x\sqrt{x}+3x+6\sqrt{x}+\log_{}|x|+C$$$${\small (3)}~\frac{\,9\,}{\,5\,}x^5-3x^2-\frac{\,1\,}{\,x\,}+C$$$${\small (4)}~\frac{\,4\,}{\,3\,}x\sqrt{x}-\frac{\,6\,}{\,5\,}x^2\sqrt{x}+C$$

p.149 練習3\(C\) を積分定数とする$${\small (1)}~5\sin{x}+3\cos{x}+C$$$${\small (2)}~3\sin{x}+\cos{x}+C$$$${\small (3)}~\sin{x}+2\tan{x}+C$$$${\small (4)}~-\frac{\,1\,}{\,\tan{x}\,}-x+C$$

p.149 練習4\(C\) を積分定数とする$${\small (1)}~\frac{\,3^x\,}{\,\log_{}3\,}+e^x+C$$$${\small (2)}~3e^x-\frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+C$$$${\small (3)}~\frac{\,10^x\,}{\,\log_{}10\,}-\frac{\,3^x\,}{\,\log_{}3\,}+C$$$${\small (4)}~5^x+\frac{\,1\,}{\,5\,}x^5+C$$

p.150 練習5\(C\) を積分定数とする$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,5\,}(x-1)^5+C$$$${\small (2)}~-\frac{\,1\,}{\,12\,}(2-3x)^4+C$$$${\small (3)}~\log_{}|2x+1|+C$$$${\small (4)}~\frac{\,1\,}{\,6\,}(4x-3)\sqrt{4x-3}+C$$$${\small (5)}~\frac{\,1\,}{\,5\,}\cos{(-5x+1)}+C$$$${\small (6)}~\frac{\,2^{3x-1}\,}{\,3\log_{}2\,}+C$$

p.152 練習6\(C\) を積分定数とする$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,15\,}(3x-1)(2x+1)\sqrt{2x+1}+C$$$${\small (2)}~-\frac{\,2\,}{\,3\,}(x+2)\sqrt{1-x}+C$$

p.153 練習7\(C\) を積分定数とする$${\small (1)}~\frac{\,2\,}{\,3\,}(x^3+2)\sqrt{x^3+2}+C$$$${\small (2)}~-\frac{\,1\,}{\,3\,}(1-x^2)\sqrt{1-x^2}+C$$$${\small (3)}~\frac{\,1\,}{\,4\,}\sin^4{x}+C$$$${\small (4)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}\tan^2{x}+C$$$${\small (5)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}(\log_{}x)^2+C$$$${\small (6)}~\frac{\,1\,}{\,3\,}e^{x^3}+C$$

p.153 練習8\(C\) を積分定数とする$${\small (1)}~\log_{}(x^2+x+1)+C$$$${\small (2)}~\log_{}|\sin{x}|+C$$$${\small (3)}~\log_{}|e^x-1|+C$$$${\small (4)}~-\log_{}(1+\cos{x})+C$$

p.154 練習9\(C\) を積分定数とする$${\small (1)}~x\sin{x}+\cos{x}+C$$$${\small (2)}~(x^2-x)\log_{}x-\frac{\,x^2\,}{\,2\,}+x+C$$$${\small (3)}~xe^x+C$$

p.155 練習10\(C\) を積分定数とする$$~~~(x+1)\log_{}(x+1)-x+C$$

p.155 練習11\(C\) を積分定数とする$$~~~(1-x^2)\cos{x}+2x\sin{x}+C$$

p.156 問2$$~~~a=-1~,~b=2$$\(C\) を積分定数とする$$~~~\log_{}\frac{\,(x+2)^2\,}{\,|x+1|\,}+C$$

p.156 練習12\(C\) を積分定数とする$${\small (1)}~3x+\log_{}|x-2|+C$$$${\small (2)}~\log_{}\left| \frac{\,x-1\,}{\,x\,} \right|+C$$$${\small (3)}~\log_{} \frac{\,(x+1)^2\,}{\,|x-1|\,} +C$$

p.157 練習13\(C\) を積分定数とする$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}x+\frac{\,1\,}{\,4\,}\sin{2x}+C$$$${\small (2)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}x-\frac{\,1\,}{\,12\,}\sin{6x}+C$$$${\small (3)}~-\frac{\,1\,}{\,4\,}\cos{2x}+C=\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin^2{x}+C$$

p.157 問3公式１
加法定理より、$$\begin{eqnarray}~~~\sin{(\alpha+\beta)}&=&\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}\\[2pt]~~~\sin{(\alpha-\beta)}&=&\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\end{eqnarray}$$両辺をそれぞれ加えると、$$\small~~~\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)}=2\sin{\alpha}\cos{\beta}$$したがって、$$\small~~~\sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\{ \sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)} \}$$
公式２
加法定理より、$$\begin{eqnarray}~~~\cos{(\alpha+\beta)}&=&\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\\[2pt]~~~\cos{(\alpha-\beta)}&=&\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{eqnarray}$$両辺をそれぞれ加えると、$$\small~~~\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}=2\cos{\alpha}\cos{\beta}$$したがって、$$\small~~~\cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\{ \cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)} \}$$
公式３
加法定理より、$$\begin{eqnarray}~~~\cos{(\alpha+\beta)}&=&\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\\[2pt]~~~\cos{(\alpha-\beta)}&=&\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{eqnarray}$$両辺をそれぞれ引くと、$$\small~~~\cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)}=-2\sin{\alpha}\sin{\beta}$$したがって、$$\small~~~\sin{\alpha}\sin{\beta}=-\frac{\,1\,}{\,2\,}\{ \cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)} \}$$

p.157 練習14\(C\) を積分定数とする$${\small (1)}~-\frac{\,1\,}{\,12\,}\cos{6x}-\frac{\,1\,}{\,4\,}\cos{2x}+C$$$${\small (2)}~\frac{\,1\,}{\,10\,}\sin{5x}+\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin{x}+C$$$${\small (3)}~-\frac{\,1\,}{\,8\,}\sin{4x}+\frac{\,1\,}{\,4\,}\sin{2x}+C$$

p.158 練習15\(C\) を積分定数とする$${\small (1)}~-\cos{x}+\frac{\,1\,}{\,3\,}\cos^3{x}+C$$$${\small (2)}~\frac{\,1\,}{\,\cos{x}\,}+\cos{x}+C$$

p.158 練習16\(C\) を積分定数とする$$~~~\frac{\,1\,}{\,2\,}\log_{}\frac{\,1+\sin{x}\,}{\,1-\sin{x}\,}+C$$

p.160 練習17$${\small (1)}~1$$$${\small (2)}~\frac{\,3\,}{\,8\,}$$$${\small (3)}~1$$$${\small (4)}~\frac{\,7\,}{\,8\log_{}2\,}$$

p.161 問4$${\small (1)}~\frac{\,2\,}{\,5\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,\pi\,}{\,2\,}$$

p.161 練習18$${\small (1)}~e+\frac{\,1\,}{\,e\,}-2$$$${\small (2)}~-\frac{\,2\,}{\,3\,}\log_{}2$$$${\small (3)}~\frac{\,8\,}{\,15\,}$$$${\small (4)}~\frac{\,\pi\,}{\,8\,}-\frac{\,1\,}{\,4\,}$$

p.162 練習19$${\small (1)}~4$$$${\small (2)}~2$$$${\small (3)}~e+4\log_{}2-5$$

p.164 練習20$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}-\log_{}2$$$${\small (2)}~\frac{\,14\,}{\,15\,}$$$${\small (3)}~\frac{\,4\,}{\,3\,}$$

p.165 練習21$${\small (1)}~\frac{\,\pi\,}{\,2\,}$$$${\small (2)}~\pi+\sqrt{3}$$$${\small (3)}~\frac{\,\pi\,}{\,6\,}$$

p.166 練習22$${\small (1)}~\frac{\,\pi\,}{\,3\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,\pi\,}{\,4\,}$$$${\small (3)}~\frac{\,5\,}{\,36\,}\pi$$

p.167 問5$${\small (1)}~2$$$${\small (2)}~0$$

p.167 練習23$${\small (1)}~-8$$$${\small (2)}~0$$

p.168 練習24$${\small (1)}~\pi$$$${\small (2)}~1$$$${\small (3)}~2\log_{}2-\frac{\,3\,}{\,4\,}$$$${\small (4)}~2e\log_{}2$$$${\small (5)}~\pi-2$$

p.168 問6$$~~~-\frac{\,8\,}{\,5\,}$$

p.168 練習25$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,12\,}$$$${\small (2)}~-\frac{\,1\,}{\,6\,}(\beta-\alpha)^3$$

p.170 研究 練習1\(C\) を積分定数とする$$~~~\frac{\,1\,}{\,2\,}e^x(\sin{x}-\cos{x})+C$$$$~~~\frac{\,1\,}{\,2\,}e^x(\sin{x}+\cos{x})+C$$

p.171 練習26$$~~~e^x-e^a$$

p.172 問7$$~~~(4x-1)\log_{}x$$

p.172 練習27$$~~~4x\cos{2x}-x\cos{x}$$

p.172 練習28$$~~~f(x)=\sin{x}+\frac{\,2\,}{\,2-\pi\,}$$

p.175 練習29$$~~~\frac{\,2\,}{\,\pi\,}$$

p.177 練習30\({\small (1)}~\)[証明] \(x≧1\) のとき、$$~~~x^2+x+1=\left(x-\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\frac{\,3\,}{\,4\,}>0$$これより、$$\begin{split}&\frac{\,1\,}{\,x\,}-\frac{\,1\,}{\,x^2-x+1\,}\\[2pt]~~=~&\frac{\,(x-1)^2\,}{\,x(x^2-x+1)\,}≧0\end{split}$$また、$$\begin{split}&\frac{\,1\,}{\,x^2-x+1\,}-\frac{\,1\,}{\,x^2\,}\\[2pt]~~=~&\frac{\,x-1\,}{\,x^2(x^2-x+1)\,}≧0\end{split}$$したがって、$$~~~\frac{\,1\,}{\,x\,}≦\frac{\,1\,}{\,x^2-x+1\,}≦\frac{\,1\,}{\,x^2\,}$$[終]
 
\({\small (2)}~\)[証明] \({\small (1)}\) より、\(x> 1\) では等号は成り立たないので、$$\scriptsize~~~~\int_{1}^{2}\frac{\,1\,}{\,x\,}dx< \int_{1}^{2}\frac{\,1\,}{\,x^2-x+1\,}dx < \int_{1}^{2}\frac{\,1\,}{\,x^2\,}dx$$ここで、$$~~~\int_{1}^{2}\frac{\,1\,}{\,x\,}dx=\left[ -\frac{\,1\,}{\,x\,} \right]_{1}^{2}=\frac{\,1\,}{\,2\,}$$$$~~~\int_{1}^{2}\frac{\,1\,}{\,x^2\,}dx=\left[ \log_{}x \right]_{1}^{2}=\log_{}2$$したがって、$$~~~~\frac{\,1\,}{\,2\,} < \int_{1}^{2}\frac{\,1\,}{\,x^2-x+1\,}dx < \log_{}2$$[終]

p.177 練習31[証明] 自然数 \(k\) について、\(k≦x≦k+1\) とすると、$$~~~\frac{\,1\,}{\,k+1\,}≦\frac{\,1\,}{\,x\,}$$等号は常に成り立たないので、$$~~~\frac{\,1\,}{\,k+1\,}< \int_{k}^{k+1}\frac{\,1\,}{\,x\,}dx$$これより、\(n≧2\) のとき、$$~~~\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\,1\,}{\,k+1\,}< \sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}\frac{\,1\,}{\,x\,}dx$$左辺は、$$~~~\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\,1\,}{\,k+1\,}=\frac{\,1\,}{\,2\,}+\frac{\,1\,}{\,3\,}+\cdots+\frac{\,1\,}{\,n\,}$$右辺は、$$\begin{split}&\sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}\frac{\,1\,}{\,x\,}dx\\[3pt]~~=~&\int_{1}^{n}\frac{\,1\,}{\,x\,}dx\\[3pt]~~=~&\left[ \log_{}x \right]_{1}^{n}=\log_{}n\end{split}$$両辺に \(1\) を加えると、$$\begin{split}&1+\frac{\,1\,}{\,2\,}+\frac{\,1\,}{\,3\,}+\cdots+\frac{\,1\,}{\,n\,}< 1+\log_{}n\end{split}$$[終]

p.179 問題 12[証明] 関数 \(\sqrt{x}\) は単調増加する関数より、\(0\) 以上の整数 \(k\) において、\(k< x< k+1\) のとき、$$~~~\sqrt{k}< \sqrt{x}< \sqrt{k+1}$$これより、$$\small~~~\int_{k}^{k+1}\sqrt{k}dx < \int_{k}^{k+1}\sqrt{x}dx < \int_{k}^{k+1}\sqrt{k+1}dx$$$$~~~\sqrt{k}< \int_{k}^{k+1}\sqrt{x}dx < \sqrt{k+1}$$$$\small~~~\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{k}< \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1}\sqrt{x}dx < \sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{k+1}$$ここで、$$\begin{split}&\sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1}\sqrt{x}dx\\[3pt]~~=~&\int_{0}^{n}\sqrt{x}dx\\[3pt]~~=~&\left[ \frac{\,2\,}{\,3\,}x\sqrt{x} \right]_{0}^{n}\\[3pt]~~=~&\frac{\,2\,}{\,3\,}n\sqrt{n}\end{split}$$これより、$$~~~ \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1}\sqrt{x}dx < \sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{k+1}$$$$~~~\frac{\,2\,}{\,3\,}n\sqrt{n}< 1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}$$また、$$~~~\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{k}< \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1}\sqrt{x}dx $$$$~~~1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n-1}< \frac{\,2\,}{\,3\,}n\sqrt{n}$$両辺に \(\sqrt{n}\) を加えて、$$~~~1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n-1}+\sqrt{n}$$$$~~~~~~~~~~~~< \frac{\,2\,}{\,3\,}n\sqrt{n}+\sqrt{n}$$したがって、$$~~~\frac{\,2\,}{\,3\,}n\sqrt{n}< 1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}$$$$~~~~~~~~~~~~< \frac{\,2\,}{\,3\,}n\sqrt{n}+\sqrt{n}$$[終]

p.180 演習問題Ａ 3\({\small (1)}~\)[証明] 右辺を \(1-x=t\) とおくと、
\(x\) が \(0\to 1\) のとき \(t\) は \(1\to 0\)
また、 \(dx=-dt\) であるので、$$\begin{split}&\int_{0}^{1}f(1-x)dx\\[3pt]~~=~&\int_{1}^{0}f(t)(-dt)\\[3pt]~~=~&\int_{0}^{1}f(t)dt\\[3pt]~~=~&\int_{0}^{1}f(x)dx\end{split}$$したがって、$$~~~\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(1-x)dx$$[終]
 
\({\small (2)}~\)[証明] \(\cos{x}=\sin{\left({\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}-x\right)}\) として、\({\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}-x=t\) とおくと、
\(x\) が \(0\to {\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}\) のとき \(t\) は \({\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}} \to 0\)
また、 \(dx=-dt\) であるので、$$\begin{split}&\int_{0}^{\frac{\,\pi\,}{\,2\,}}f(\cos{x})dx\\[3pt]~~=~&\int_{0}^{\frac{\,\pi\,}{\,2\,}}f\left(\sin{\left( \frac{\,\pi\,}{\,2\,}- x \right)}\right)dx\\[3pt]~~=~&\int_{\frac{\,\pi\,}{\,2\,}}^{0}f(\sin{t})(-dt)\\[3pt]~~=~&\int_{0}^{\frac{\,\pi\,}{\,2\,}}f(\sin{t})dt\\[3pt]~~=~&\int_{0}^{\frac{\,\pi\,}{\,2\,}}f(\sin{x})dx\end{split}$$したがって、$$~~~\int_{0}^{\frac{\,\pi\,}{\,2\,}}f(\sin{x})dx=\int_{0}^{\frac{\,\pi\,}{\,2\,}}f(\cos{x})dx$$[終]

p.180 演習問題Ａ 5[証明] \(0≦\sin{x}≦x\) より、$$~~~1-x≦1-\sin{x}≦1$$よって、$$~~~\sqrt{1-x}≦\sqrt{1-\sin{x}}≦1$$これより、$$~~~1≦\frac{\,1\,}{\,\sqrt{1-\sin{x}}\,}≦\frac{\,1\,}{\,\sqrt{1-x}\,}$$等号は常に成り立たないので、$$\scriptsize~~~\int_{0}^{\frac{\,\pi\,}{\,4\,}}dx< \int_{0}^{\frac{\,\pi\,}{\,4\,}} \frac{\,1\,}{\,\sqrt{1-\sin{x}}\,}dx< \int_{0}^{\frac{\,\pi\,}{\,4\,}}\frac{\,1\,}{\,\sqrt{1-x}\,} dx$$ここで、$$~~~\int_{0}^{\frac{\,\pi\,}{\,4\,}}dx=\left[ x \right]_{0}^{\frac{\,\pi\,}{\,4\,}}=\frac{\,\pi\,}{\,4\,}$$また、$$\begin{split}&\int_{0}^{\frac{\,\pi\,}{\,4\,}}\frac{\,1\,}{\,\sqrt{1-x}\,} dx\\[3pt]~~=~&\int_{0}^{\frac{\,\pi\,}{\,4\,}}(\sqrt{1-x})^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}} dx\\[3pt]~~=~&\left[ -2\sqrt{1-x} \right]_{0}^{\frac{\,\pi\,}{\,4\,}}\\[3pt]~~=~&-\sqrt{4-\pi}+2\end{split}$$したがって、$$~~~\frac{\,\pi\,}{\,4\,}< \int_{0}^{\frac{\,\pi\,}{\,4\,}} \frac{\,dx\,}{\,\sqrt{1-\sin{x}}\,} < 2-\sqrt{4-\pi}$$[終]

p.181 演習問題Ｂ 8[証明] \(0≦x^2≦x\) より、$$~~~-\frac{\,x\,}{\,2\,}≦-\frac{\,x^2\,}{\,2\,}≦0$$よって、$$~~~e^{-\frac{\,x\,}{\,2\,}}≦e^{-\frac{\,x^2\,}{\,2\,}}≦e^0$$等号は常に成り立たないので、$$~~~\int_{0}^{1}e^{-\frac{\,x\,}{\,2\,}} dx < \int_{0}^{1} e^{-\frac{\,x^2\,}{\,2\,}} dx < \int_{0}^{1}dx$$ここで、$$\begin{split}&\int_{0}^{1}e^{-\frac{\,x\,}{\,2\,}} dx\\[3pt]~~=~&\left[ -2e^{-\frac{\,x\,}{\,2\,}} \right]_{0}^{1}\\[3pt]~~=~&-2(e^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}}-1)\\[3pt]~~=~&2\left( 1-\frac{\,1\,}{\,\sqrt{e}\,} \right)\end{split}$$また、$$~~~\int_{0}^{1}dx=\left[ x \right]_{0}^{1}=1$$したがって、$$~~~2\left( 1-\frac{\,1\,}{\,\sqrt{e}\,}\right) < \int_{0}^{1} e^{-\frac{\,x^2\,}{\,2\,}} dx < 1$$[終]

p.181 演習問題Ｂ 10[証明] 任意の \(t\) において、\(\{ tf(x)+g(x) \}^2≧0\) より、$$~~~\int_{a}^{b} \{ tf(x)+g(x) \}^2 dx≧0$$が成り立つ
次に、$$\small \begin{split}&\int_{a}^{b} \{ tf(x)+g(x) \}^2 dx\\[2pt]~~=~&\int_{a}^{b} t^2\{f(x)\}^2+2tf(x)g(x)+\{ g(x) \}^2 dx\\[2pt]~~=~&t^2\int_{a}^{b} \{f(x)\}^2dx+2t\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx\\[2pt]~~~~&~~~+\int_{a}^{b}\{ g(x) \}^2 dx\end{split}$$ここで、$$~~~k=\int_{a}^{b} \{f(x)\}^2dx$$$$~~~l=\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx$$$$~~~m=\int_{a}^{b}\{ g(x) \}^2 dx$$とすると、$$~~~kt^2+2lt+m≧0$$が常に成り立つ
また、$$~~~k=\int_{a}^{b} \{f(x)\}^2dx≧0$$で \(t\) の２次式より \(k\neq 0\)
よって、\(k> 0\) となり２次不等式が常に成り立つことより、
２次方程式 \(kt^2+2lt+m\) の判別式 \(D\) が \(D≦0\) より、$$~~~\frac{\,D\,}{\,4\,}=l^2-km≦0$$よって、\(l^2≦km\)
したがって、問いの不等式が成り立つ [終]